Współczynnik kierunkowy  Współczynnik kierunkowy prostych przechodzących przez punkty $A=\left(x_A,y_A\right)$, $B=\left(x_B,y_B\right)$ obliczamy ze wzoru: $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ Równanie prostej Prosta o współczynniku kierunkowym $a$, przechodząca przez punkt $P=\left(x_0,y_0\right)$ ma równanie $y=a\left(x-x_0\right)+y_0$ Współczynnik kierunkowy prostych prostopadłych Proste ${y=a_{1}x+b}_1$ i $y=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność $a_1\cdot a_2=-1$

Chcemy wyznaczyć współrzędne punktu $B$ takiego, że kąt $ACB$ będzie prosty. Wiemy, że 

$A=\left(-3,-3\right),C=\left(2,7\right)$

oraz prosta $AB$ ma równanie 

$AB:y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$

Zacznijmy od wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej $AC$:

$a_{AC}=\frac{7-\left(-3\right)}{2-\left(-3\right)}=\frac{10}{5}=2$

Proste $BC$ i $AC$ są prostopadłe. To oznacza, że współczynnik kierunkowy prostej $BC$ spełnia zależność

$a_{BC}\cdot a_{AC}=-1\iff a_{BC}\cdot 2=-1\iff a_{BC}=-\frac{1}{2}$

Wyznaczmy równanie prostej $BC$ korzystając z tego, że leży na niej punkt $C=\left(2,7\right)$:

$BC:y=-\frac{1}{2}\left(x-2\right)+7=-\frac{1}{2}x+8$

Następnie wyznaczmy współrzędne punktu $B$, który jest przecięciem prostych $BC$ i $AB$.

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+8\\ y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+8\\ -\frac{1}{2}x+8=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+8\\ \frac{5}{4}x=\frac{35}{4}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}\cdot 7+8\\ x=7\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}\cdot 7+8=\frac{9}{2}\\ x=7\end{array}$

Stąd punkt $B$ ma współrzędne

$B=\left(7,\frac{9}{2}\right)$

Obliczmy długość odcinka $AB$, korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(7-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(\frac{9}{2}-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{10^2+{\left(\frac{15}{2}\right)}^2}=\sqrt{100+\frac{225}{4}}=\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{25}{2}$

Odpowiedź: $B=\left(7,\frac{9}{2}\right)$, $\left|AB\right|=\frac{25}{2}$