Pole trójkąta Pole trójkąta o bokach długości $a$ i $b$ oraz o kącie $\alpha$ pomiędzy tymi bokami można obliczyć ze wzoru  $P=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$

Chcemy obliczyć pole trójkąta w którym długości dwóch boków są równe $3$ i $4$, a cosinus kąta $\alpha$ pomiędzy tymi bokami jest równy $\frac{4}{5}$. Zacznijmy od obliczenia sinusa kąta $\alpha$:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$

Obliczmy pole trójkąta $ABC$:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\left|AB\right|\cdot \left|AC\right|\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{3}{5}=\frac{18}{5}$

Odpowiedź: Pole trójkąta $ABC$ jest równe $\frac{18}{5}$.