Chcemy obliczyć pole powierzchni przedstawionego wielokąta. Niech $E$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ na bok $DB$ w trójkącie $BDC$. Trójkąt $BCD$ jest równoramienny, więc $\left|DE\right|=\left|EB\right|$.

Zacznijmy od obliczenia wysokości $CE$ trójkąta $BCD$, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|DE\right|}^2+{\left|EC\right|}^2={\left|CD\right|}^2$

${\left|DE\right|}^2+5^2=13^2$

${\left|DE\right|}^2=13^2-5^2=169-25=144$

$\left|DE\right|=\sqrt{144}=12$

Obliczmy pole trójkąta $DCB$:

$P_{DCB}=\frac{\left|DB\right|\cdot \left|CE\right|}{2}=\frac{10\cdot 12}{2}=\frac{120}{2}=60$

Trójkąt $ADB$ jest prostokątny, więc jego pole jest równe:

$P_{ADB}=\frac{\left|AD\right|\cdot \left|DB\right|}{2}=\frac{13\cdot 10}{2}=\frac{130}{2}=65$

Pole czworokąta $ABCD$ jest sumą pól trójkątów $DCB$ i $ADB$:

$P_{ABCD}=P_{DCB}+P_{ADB}=60+65=125$

Odpowiedź: Pole czworokąta $ABCD$ jest równe $125$.