Jedynka trygonometryczna Dla dowolnego kąta $\alpha$ prawdziwa jest równość ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ Definicje funkcji trygonometrycznych kątów ostrych Rozważmy trójkąt prostokątny o kącie ostrym $\alpha$: W trójkącie tym zachodzą równości: $\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c},\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$

Wiedząc, że kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$, chcemy wyznaczyć $\mathrm{tg}\alpha$. Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczmy kosinus kąta $\alpha$:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{5}{9}+{\cos }^2\alpha =1$

${\cos }^2\alpha =1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$

Dla kąta ostrego $\alpha$ zachodzi $\cos \alpha >0$, więc

${\cos }^2\alpha =\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$

To oznacza, że

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Odpowiedź: A