Dla kąta ostrego $\alpha$ prawdziwa jest równość $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ Jedynka trygonometryczna Dla dowolnego kąta $\alpha$ prawdziwa jest równość ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Wiedząc, że $\alpha$ jest kątem ostrym i $\mathrm{tg}\alpha =\frac{12}{5}$, chcemy wyznaczyć $\sin \alpha$. Zapiszmy tangens jako iloraz sinusa i cosinusa, a następnie wykonajmy przekształcenia:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{12}{5}\iff \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{12}{5}\iff \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{5}{12}\iff \cos \alpha =\frac{5}{12}\sin \alpha$

Podstawmy otrzymany wynik do jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{5}{12}\sin \alpha \right)}^2=1$

$1{\sin }^2\alpha +\frac{25}{144}{\sin }^2\alpha =1$

$\left(1+\frac{25}{144}\right){\sin }^2\alpha =1$

$\frac{169}{144}{\sin }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha =\frac{144}{169}$

Wiemy, że $\alpha$ jest kątem ostrym, co oznacza, że $\sin \alpha >0$. Stąd 

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$

Odpowiedź: D