Jedynka trygonometryczna Dla dowolnego kąta $\alpha$ prawdziwa jest równość ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Wiedząc, że kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$, chcemy obliczyć wartość wyrażenia

$2+{\sin }^3\alpha +\sin \alpha {\cos }^2\alpha$

Zacznijmy od obliczenia $\sin \alpha$, korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz tego, że kąt $\alpha$ jest ostry, czyli $\sin \alpha >0$:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$

$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$

Wykonajmy przekształcenia i obliczmy wartość przedstawionej równości:

$2+{\sin }^3\alpha +\sin \alpha {\cos }^2\alpha =2+\sin \alpha \left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)=2+\sin \alpha =2+\frac{3}{4}=\frac{8}{4}+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$

Odpowiedź: Wartość wyrażenia jest równa $\frac{11}{4}$.