Wzór skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi: ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$ Liczby wymierne Liczba $a$ jest liczbą wymierną, jeżeli można ją przedstawić za pomocą ułamka  $a=\frac{p}{q}$ gdzie $p,q$ są liczbami całkowitymi i $q\ne 0$.

Chcemy wskazać liczby $a$, dla których liczba

$x=a-{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2$

będzie wymierna. Zacznijmy od uproszczenia wyrażenia po prawej stronie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

$a-{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2=a-\left({\sqrt{3}}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2\right)=a-\left(3-2\sqrt{6}+2\right)=a-3+2\sqrt{6}-2=a-5+2\sqrt{6}$

Liczba $5$ jest liczbą wymierną. Aby więc sprawdzić, czy liczba $x$ jest wymierna, należy sprawdzić, czy liczba $a+2\sqrt{6}$ jest wymierna. Sprawdźmy kolejne odpowiedzi:

---

A. 

Gdy $a=5$, dostajemy:

$a+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}$

Otrzymana liczba nie jest wymierna.

---

B. 

Gdy $a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}$, dostajemy:

$a+2\sqrt{6}=-\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\sqrt{6}$

Otrzymana liczba nie jest wymierna.

---

C.

Gdy $a={\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2+0,3$, dostajemy:

$a+2\sqrt{6}={\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2+0,3+2\sqrt{6}={\sqrt{3}}^2-2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2+0,3+2\sqrt{6}=3-2\sqrt{6}+2+0,3+2\sqrt{6}=5,3$

Otrzymana liczba jest wymierna.

---

D.

Gdy $a=6$, dostajemy:

$a+2\sqrt{6}=6+2\sqrt{6}$

Otrzymana liczba nie jest wymierna.

---

E.

Gdy $a=-2\sqrt{6}+12,5$, dostajemy:

$a+2\sqrt{6}=-2\sqrt{6}+12,5+2\sqrt{6}=12,5$

Otrzymana liczba jest wymierna.

---

F.

Gdy $a={\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{6}$, dostajemy:

$a+2\sqrt{6}={\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{6}={\sqrt{3}}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\sqrt{2}}^2-2\sqrt{6}=3-2\sqrt{6}+2-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}$

Otrzymana liczba nie jest wymierna.

---

G.

Gdy $a=-\sqrt{6}$, dostajemy:

$a+2\sqrt{6}=-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=\sqrt{6}$

---

Odpowiedź: C, E