Treść:

Na festyn wpuszczano uczestników jednym wejściem. Pierwszy wchodzący otrzymał i sok, i ciastko. Następnie co szósty wchodzący otrzymywał sok, a co dziesiąty wchodzący otrzymywał ciastko.

To znaczy, że sok otrzymali wchodzący: pierwszy, siódmy, trzynasty itd. A ciastko otrzymali wchodzący: pierwszy, jedenasty, dwudziesty pierwszy itd. Na festyn przyszło $450$ osób.

Oblicz, ilu uczestników tego festynu otrzymało i sok, i ciastko. Zapisz obliczenia. 

---

Rozwiązanie:

Pierwsza osoba: sok i ciastko.

Potem:

• co szósta osoba $\to$ sok
• co dziesiąta osoba $\to$ ciastko

Jeśli oznaczymy kolejne osoby numerami od $1$ do $450$, to

Sok ma osoba numer: $1,7,13,19,25,31,...$

Trzeba dodawać szóstkę, żeby mieć następny numer.

Ciastko ma osoba numer: $1,11,21,31,...$

Trzeba dodawać dziesiątkę, żeby mieć następny numer.

Zauważmy, że wspólne wielokrotności $6$ i $10$ to:
$30,60,90,120,150,180,210,240,270,300,330,360,390,420,450$

Zauważmy, że jeśli do osoby z numerem jeden dodamy kolejno te wspólne wielokrotności szóstki i dziesiątki, to dostaniemy numery osób, które dostaną jednocześnie ciastko i sok. Pamiętamy, że mamy w sumie $450$ osób.

Widzimy, że

$NWW\left(6,10\right)=30$

zatem co trzydziesta osoba dostała sok i ciastko.

Czyli numery osób, które maja ciastko i sok to:

$1,31,61,91,121,151,181,211,241,271,301,331,361,391,421$

Jest $15$ takich osób.

Możemy też zauważyć, że $450:30=15$.

---

Odp. Piętnastu uczestników tego festynu dostało i sok, i ciastko.