a)

W pierwszym działaniu musimy otrzymać liczbę $108$, dodając do siebie dwie liczby: jednocyfrową i dwucyfrową. Zauważ, że zarówno liczba jednocyfrowa, jak i dwucyfrowa muszą być wystarczająco duże, aby ich suma była większa niż $100$.

Największą liczbą jednocyfrową jest $9$, a największą liczbą dwucyfrową jest $99$. Gdy zsumujemy te dwie liczby, otrzymamy:

$9+99=108$

Czyli pod każdym kleksem w tym działaniu kryje się cyfra $9$.

Odp. $9+99=108$

---

W drugim działaniu odejmujemy od liczby dwucyfrowej liczbę jednocyfrową. W wyniku należy otrzymać liczbę $98$. Jest to przedostatnia liczba dwucyfrowa, więc skoro ma ona być wynikiem odejmowania, to odjemna (pierwsza liczba w odejmowaniu) musi być większa od $98$, a jedyną dwucyfrową liczbą większą od $98$ jest $99$. Czyli trzecie działanie powinno wyglądać tak:

$99-1=98$

Odp. $99-1=98$

---

W trzecim działaniu musimy pomnożyć liczbę $57$ przez liczbę jednocyfrową, aby w wyniku otrzymać liczbę dwucyfrową.

Gdybyśmy pomnożyli $57$ przez $2$, otrzymalibyśmy:

$57\cdot 2=114$

Liczba $114$ jest liczbą trzycyfrową, a w tym działaniu mieliśmy otrzymać liczbę dwucyfrową, więc jedynym możliwym działaniem jest:

$57\cdot 1=57$

Odp. $57\cdot 1=57$

---

W czwartym działaniu musimy podzielić liczbę trzycyfrową przez $2$, tak aby wynikiem była liczba dwucyfrowa. Wiemy, że liczba trzycyfrowa ma na miejscu dziesiątek $1$, a na miejscu jedności $8$, więc dzielną (pierwszą liczbą w dzieleniu) mogłyby być takie liczby jak:

$118,218,318,...$

Gdy podzielimy $218$ przez $2$, to otrzymamy:

$218:2=109$

Liczba $109$ jest liczbą trzycyfrową, a w tym przykładzie mamy otrzymać liczbę dwucyfrową. więc dzielna musi być mniejsza niż $218$. Gdybyśmy podzielili przez $2$ liczby większe od $218$, to iloraz (wynik dzielenia) będzie jeszcze większy niż $109$.

To działanie musi wyglądać tak:

$118:2=59$

Odp. $118:2=59$

---

---

b)

W pierwszym przykładzie suma dwóch liczb ma być mniejsza niż $71$. Wiemy, że druga liczba to $28$, a pierwsza liczba ma cyfrę $4$ na miejscu jedności, ale nie znamy jej cyfry dziesiątek. Jeśli z lewej strony zabierzemy liczbę $28$, to liczbę $71$ również zmniejszymy o $28$.

Spójrzmy na pomocniczą ilustrację.

Teraz już wiemy, że po lewej stronie mogą pojawić się liczby:

$14,24,34$

Wszystkie możliwości: 

$14+28<71$,

$24+28<71$,

$34+28<71$

---

W drugim przykładzie różnica między dwoma liczbami ma być większa niż $27$. Nie znamy cyfry dziesiątek w odjemnej, wiemy tylko że jej cyfrą jedności jest $5$. Odjemnik to $48$. Odjemna musi być na tyle duża, żeby po zmniejszeniu jej o $48$, otrzymać liczbę większą niż $27$.

Spójrzmy na pomocniczą ilustrację.

Po lewej stronie mogą pojawić się liczby: 

$85$ i $95$

Wszystkie możliwości: $85-48>27,95-48>27$

---

W trzecim przykładzie dodajemy dwie liczby dwucyfrowe. Jedna z nich ma $2$ jedności, a druga $9$ jedności. Suma tych dwóch liczb ma być większa niż $180$. Zaczniemy od zmniejszenia o $9$ jednej z liczb z lewej strony oraz liczby z prawej strony.

Spójrzmy na pomocniczą ilustrację.

W kolejnym kroku z obu stron zabieramy $2$. 

Spójrzmy na pomocniczą ilustrację.

Aby suma dwóch liczb dwucyfrowych z cyfrą $0$ na miejscu jedności była większa niż $169$, musimy dodać $90$ i $90$ lub $90$ i $80$.

Wszystkie możliwości: 

$92+99>180$,

$82+99>180$,

$92+89>180$

---

W czwartym przykładzie mnożymy liczbę dwucyfrową z cyfrą $4$ na miejscu jedności przez $6$. Wynik ma być mniejszy niż $200$. Pierwszą liczbą w tym działaniu mogą być liczby takie jak:

$14,24,34,44,\dots$

Sprawdźmy kilka możliwości:

$14\cdot 6=84$

Liczba $84$ jest mniejsza niż $200$, więc pod kleksem może kryć się cyfra $1$.

$24\cdot 6=144$

Liczba $144$ jest mniejsza niż $200$, więc pod kleksem może kryć się cyfra $2$.

$34\cdot 6=204$

Liczba $204$ jest większa niż $200$, więc cyfra $3$ nie może kryć się pod kleksem.

Gdybyśmy pomnożyli przez $6$ liczbę większą niż $34$, otrzymalibyśmy wynik jeszcze większy niż $204$, więc pod kleksem mogą kryć się jedynie cyfry: 

$1\text{ i }2$

Wszystkie możliwości: $14\cdot 6<200,24\cdot 6<200$

---

W piątym przykładzie dzielimy liczbę $240$ przez liczbę jednocyfrową, a wynik ma być większy od liczby $77$.

Sprawdźmy kilka możliwości:

$240:1=240$

Liczba $240$ jest większa niż $77$, więc pod kleksem może kryć się cyfra $1$.

$240:2=120$

Liczba $120$ jest większa niż $77$, więc pod kleksem może kryć się cyfra $2$.

$240:3=80$

Liczba $80$ jest większa niż $77$, więc pod kleksem może kryć się cyfra $3$.

$240:4=60$

Liczba $60$ nie jest większa niż $77$, więc cyfra $4$ nie może kryć się pod kleksem.

Gdybyśmy podzielili $240$ przez liczby większe od $4$, to otrzymalibyśmy w wyniku liczby jeszcze mniejsze niż $60$, więc pod kleksem mogą kryć się jedynie cyfry:

$1,2,3$

Wszystkie możliwości:

$240:1>77$,

$240:2>77$,

$240:3>77$

---

W ostatnim przykładzie mnożymy liczbę dwucyfrową z cyfrą $2$ na miejscu jedności przez liczbę jednocyfrową. Otrzymany wynik ma być mniejszy od liczby $40$, więc każdy z czynników (mnożone liczby) musi być mniejszy niż $40$.

Liczbami dwucyfrowymi których możemy użyć w tym działaniu są: 

$12,22,32$

Sprawdźmy kilka możliwości:

$12\cdot 1=12$

Liczba $12$ jest mniejsza niż $40$, więc pod kleksami mogą kryć się cyfry $1$ i $1$.

$12\cdot 2=24$

Liczba $12$ jest mniejsza niż $40$, więc pod kleksami mogą kryć się cyfry $1$ i $2$.

$12\cdot 3=36$

Liczba $12$ jest mniejsza niż $40$, więc pod kleksami mogą kryć się cyfry $1$ i $3$.

$22\cdot 1=22$

Liczba $22$ jest mniejsza niż $40$, więc pod kleksami mogą kryć się cyfry $2$ i $1$.

$32\cdot 1=32$

Liczba $13$ jest mniejsza niż $40$, więc pod kleksami mogą kryć się cyfry $3$ i $1$.

Wszystkie możliwości: $12\cdot 1=12,22\cdot 1=22,$

$32\cdot 1=32,12\cdot 2=24,12\cdot 3=36$