a)

Najpierw obliczmy pole trójkąta korzystając ze wzoru Herona. Mamy:

$P=\sqrt{\frac{4+8+8}{2}\left(\frac{4+8+8}{2}-4\right)\left(\frac{4+8+8}{2}-8\right)\left(\frac{4+8+8}{2}-8\right)}$

$P=\sqrt{\frac{20}{2}\left(\frac{20}{2}-4\right)\left(\frac{20}{2}-8\right)\left(\frac{20}{2}-8\right)}\frac{}{}$

$P=\sqrt{10\cdot \left(10-4\right)\left(10-8\right)\left(10-8\right)}$

$P=\sqrt{10\cdot 2\cdot 2\cdot 6}$

$P=\sqrt{4\cdot 4\cdot 15}$

$P=2\cdot 2\cdot \sqrt{15}$

$P=4\sqrt{15}\left[{\text{cm}}^2\right]$

---

Pole trójkąta o bokach $a$, $b$, $c$ możemy obliczyć ze wzoru:

$P=pr$

gdzie:

$p$ - połowa obwodu trójkąta

$r$ - promień okręgu wpisanego w trójkąt

Zatem mamy:

$4\sqrt{15}=10r|:10$

$r=\frac{2\sqrt{15}}{5}\left[\text{cm}\right]$

---

Pole trójkąta o bokach $a$, $b$, $c$ możemy obliczyć ze wzoru:

$P=\frac{abc}{4R}$

gdzie:

$R$ - promień okręgu opisanego na trójkącie

Zatem:

$4\sqrt{15}=\frac{4\cdot 8\cdot 8}{4R}$

$4\sqrt{15}=\frac{64}{R}|\cdot R$

$4\sqrt{15}R=64|:4\sqrt{15}$

$R=\frac{16}{\sqrt{15}}\cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

$R=\frac{16\sqrt{15}}{15}\left[\text{cm}\right]$

---

---

b)

Naszkicujmy poglądowy rysunek opisanego trójkąta:

Zauważmy, że ze wzoru na pole możemy obliczyć sinus kąta miedzy ramionami, tj. kąta $ACB$. Mamy:

$\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8\sin \alpha =4\sqrt{15}$

$32\sin \alpha =4\sqrt{15}|:32$

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{8}$  

W trójkącie prostokątnym $DEC$ mamy:

$\sin \alpha =\frac{\left|DE\right|}{\left|CE\right|}$

Zatem:

$\frac{\left|DE\right|}{\left|CE\right|}=\frac{\sqrt{15}}{8}|\cdot \left|CE\right|$

$\left|DE\right|=\frac{\sqrt{15}}{8}\left|CE\right|$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DCE$ mamy:

${\left|CE\right|}^2={\left|DE\right|}^2+4^2$

${\left|CE\right|}^2={\left(\frac{\sqrt{15}}{8}\left|CE\right|\right)}^2+16$

${\left|CE\right|}^2=\frac{15}{64}{\left|CE\right|}^2+16|-\frac{15}{64}{\left|CE\right|}^2$  

$\frac{49}{64}{\left|CE\right|}^2=16|\sqrt{},\left|CE\right|>0$

$\frac{7}{8}\left|CE\right|=4|\cdot \frac{8}{7}$

$\left|CE\right|=\frac{32}{7}\left[\text{cm}\right]$

Obliczmy pole trójkąta $DCE$:

$P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot \left|CD\right|\cdot \left|CE\right|\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{32}{7}\cdot \frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{8\sqrt{15}}{7}\left[{\text{cm}}^2\right]$

Obliczmy pole czworokąta $ABED$:

$P_{ABED}=P_{ABC}-P_{DCE}=4\sqrt{15}-\frac{8\sqrt{15}}{7}=\sqrt{15}\left(4-\frac{8}{7}\right)=\sqrt{15}\left(\frac{28-8}{7}\right)=\frac{20\sqrt{15}}{7}\left[{\text{cm}}^2\right]$

Stosunek tych pól wynosi:

$\frac{P_{DCE}}{P_{ABED}}=\frac{\frac{8\sqrt{15}}{7}}{\frac{20\sqrt{15}}{7}}=\frac{8\sqrt{15}}{7}\cdot \frac{7}{20\sqrt{15}}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$