Długości boków trójkąta prostokątnego są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, oznaczmy je jako

$a_1$ ,

$a_2=a_1+r$ ,

$a_3=a_2+r=a_1+2r$ .

 

Wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych

jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej, zatem

$a_1^2+{\left(a_1+r\right)}^2={\left(a_1+2r\right)}^2$

$a_1^2+a_1^2+2a_{1}r+r^2=a_1^2+4a_{1}r+4r^2\mid -a_1^2$

$a_1^2+2a_{1}r+r^2=4a_{1}r+4r^2\mid -4a_{1}r$

$a_1^2-2a_{1}r+r^2=4r^2\mid -4r^2$

$a_1^2-2a_{1}r-3r^2=0$

 

$a)$   Obwód tego trójkąta jest równy $48$ , więc

$a_1+\left(a_1+r\right)+\left(a_1+2r\right)=48$  

$3a_1+3r=48\mid :3$  

$a_1+r=16\mid -r$  

$a_1=16-r$ .

Podstawiamy $a_1=16-r$  do powyższego równania kwadratowego z dwiema niewiadomymi $a_1$  i $r$  

${\left(16-r\right)}^2-2\cdot \left(16-r\right)\cdot r-3r^2=0$

$256-32r+r^2-32r+2r^2-3r^2=0$

$-64r+256=0\mid -256$

$-64r=-256\mid :64$  

$-r=-4\mid \cdot \left(-1\right)$

$r=4$ .

Obliczamy $a_1,a_2,a_3$  

$a_1=16-4=12$ ,

$a_2=12+4=16$ ,

$a_3=12+2\cdot 4=12+8=20$ .

Boki tego trójkąta mają długości $12$ , $16$  i $20$ .

---

b)  Różnica długości przyprostokatnych jest równa $3$ , więc

$a_1$ ,

$a_2=a_1+3$ ,

$a_3=a_2+r=a_1+3+3=a_1+6$ .

Podstawiamy $r=3$  do powyższego równania kwadratowego z dwiema niewiadomymi $a_1$  i $r$

$a_1^2-2a_1\cdot 3-3\cdot 3^2=0$

$a_1^2-6a_1-3\cdot 9=0$

$a_1^2-6a_1-27=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe z jedną niewiadomą  $a_1$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-27\right)=36+108=144$  

$a_{1_1}=\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{144}}{2\cdot 1}=\frac{6-12}{2}=\frac{-6}{2}=-\frac{6}{2}=-3\notin \mathbb{N}$

$a_{1_2}=\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{144}}{2\cdot 1}=\frac{6+12}{2}=\frac{18}{2}=9$

Długość boku nie może być liczbą ujemną, dlatego $a_1=9$ .

Obliczamy pozostałe długości boków 

$a_2=9+3=12$ ,

$a_3=9+6=15$ .

Boki tego trójkąta mają długości $9$ , $12$  i $15$ .