Niech X będzie zmienną losową o wartościach x1, x2, ..., xn przyjmowanych z prawdopodobieństwami odpowiednio p1, p2, ..., pn. Wartością oczekiwaną zmiennej X nazywamy liczbę: $EX=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\dots +x_n{p}_n$

---

a)

Rzucamy czterema monetami. Jeśli w rzucie wypadło n orłów i k reszek, to wygrana (lub przegrana) wynosi (2ⁿ-3k) zł. Wyznaczmy tę wartość w interesujących nas przypadkach. 

• Jeśli wypadły 4 orły:

$x_1=2^4-3\cdot 0=16-0=16\left[\text{zł}\right]$  

• Jeśli wypadły 3 orły i 1 reszka: 

$x_2=2^3-3\cdot 1=8-3=5\left[\text{zł}\right]$  

• Jeśli wypadły 2 orły i 2 reszki:

$x_3=2^2-3\cdot 2=4-6=-2\left[\text{zł}\right]$  

• Jeśli wypadł 1 orzeł i 3 reszki:

$x_4=2^1-3\cdot 3=2-9=-7\left[\text{zł}\right]$  

• Jeśli wypadły 4 reszki:

$x_5=2^0-3\cdot 4=1-12=-11\left[\text{zł}\right]$  

Dla x₁ mamy p₁=¹/₁₆, dla x₂ mamy p₂=⁴/₁₆, dla x₃ mamy p₃=⁶/₁₆, dla x₄ mamy p₄=⁴/₁₆, a dla x₅ mamy p₅=¹/₁₆. 

Wyznaczmy wartość oczekiwaną tej gry:

$EX=\frac{1}{16}\cdot 16+\frac{4}{16}\cdot 5+\frac{6}{16}\cdot \left(-2\right)+\frac{4}{16}\cdot \left(-7\right)+\frac{1}{16}\cdot \left(-11\right)=$

$=\frac{16}{16}+\frac{20}{16}-\frac{12}{16}-\frac{28}{16}-\frac{11}{16}=\underline{-\frac{15}{16}\left[\text{zł}\right]}$   

---

b)

Rzucamy pięcioma monetami. Jeśli w rzucie wypadło n orłów i k reszek, to wygrana (lub przegrana) wynosi (2ⁿ-3k) zł. Wyznaczmy tę wartość w interesujących nas przypadkach.

• Jeśli wypadło 5 orłów:

$x_1=2^5-3\cdot 0=32-0=32\left[\text{zł}\right]$  

• Jeśli wypadły 4 orły i 1 reszka:

$x_2=2^4-3\cdot 1=16-3=13\left[\text{zł}\right]$  

• Jeśli wypadły 3 orły i 2 reszki:

$x_3=2^3-3\cdot 2=8-6=2\left[\text{zł}\right]$  

• Jeśli wypadły 2 orły i 3 reszki:

$x_4=2^2-3\cdot 3=4-9=-5\left[\text{zł}\right]$  

• Jeśli wypadł 1 orzeł i 4 reszki:

$x_5=2^1-3\cdot 4=2-12=-10\left[\text{zł}\right]$  

• Jeśli wypadło 5 reszek:

$x_6=2^0-3\cdot 5=1-15=-14\left[\text{zł}\right]$  

Dla x₁ mamy p₁=¹/₃₂, dla x₂ mamy p₂=⁵/₃₂, dla x₃ mamy p₃=¹⁰/₃₂, dla x₄ mamy p₄=¹⁰/₃₂, dla x₅ mamy p₅=⁵/₃₂, a dla x₆ mamy p₆=¹/₃₂ 

Wyznaczmy wartość oczekiwaną tej gry:

$EX=\frac{1}{32}\cdot 32+\frac{5}{32}\cdot 13+\frac{10}{32}\cdot 2+\frac{10}{32}\cdot \left(-5\right)+\frac{5}{32}\cdot \left(-10\right)+\frac{1}{32}\cdot \left(-14\right)=$

$=\frac{32}{32}+\frac{65}{32}+\frac{20}{32}-\frac{50}{32}-\frac{50}{32}-\frac{14}{32}=\underline{\frac{3}{32}\left[\text{zł}\right]}$