a)

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(2, 1), B=(16, 7) i C=(6, 11). 

Wyznaczmy długości boków tego trójkąta. Mamy: 

• $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(16-2\right)}^2+{\left(7-1\right)}^2}=\sqrt{{14}^2+6^2}=\sqrt{196+36}=\sqrt{232}$    
• $\left|BC\right|=\sqrt{{\left(6-16\right)}^2+{\left(11-7\right)}^2}=\sqrt{{\left(-10\right)}^2+4^2}=\sqrt{100+16}=\sqrt{116}$  
• $\left|AC\right|=\sqrt{{\left(6-2\right)}^2+{\left(11-1\right)}^2}=\sqrt{4^2+{10}^2}=\sqrt{16+100}=\sqrt{116}$  

Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |BC|=|AC|.

Zauważmy, że

${\left(\sqrt{116}\right)}^2+{\left(\sqrt{116}\right)}^2\stackrel{?}{=}{\left(\sqrt{232}\right)}^2$  

$116+116=232$  

więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.

Odp. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym i równoramiennym.

---

b)

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(-6, -8), B=(10, 0) i C=(-3, 6). 

Wyznaczmy długości boków tego trójkąta. Mamy:

• $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(10-\left(-6\right)\right)}^2+{\left(0-\left(-8\right)\right)}^2}=\sqrt{{16}^2+8^2}=\sqrt{256+64}=\sqrt{320}$  
• $\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-3-10\right)}^2+{\left(6-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-13\right)}^2+6^2}=\sqrt{169+36}=\sqrt{205}$  
• $\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-3-\left(-6\right)\right)}^2+{\left(6-\left(-8\right)\right)}^2}=\sqrt{3^2+{14}^2}=\sqrt{9+196}=\sqrt{205}$  

Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |BC|=|AC|.

Zauważmy, że

${\left(\sqrt{205}\right)}^2+{\left(\sqrt{205}\right)}^2\stackrel{?}{=}{\left(\sqrt{320}\right)}^2$  

$205+205\ne 320$  

więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, trójkąt ABC nie jest trójkątem prostokątnym.

Odp. Trójkąt ABC nie jest trójkątem prostokątnym, ale jest trójkątem równoramiennym. 

---

c)

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(-2, -9), B=(2, -10) i C=(3, 11). 

Wyznaczmy długości boków tego trójkąta. Mamy:

• $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-10-\left(-9\right)\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$  
• $\left|BC\right|=\sqrt{{\left(3-2\right)}^2+{\left(11-\left(-10\right)\right)}^2}=\sqrt{1^2+{21}^2}=\sqrt{1+441}=\sqrt{442}$  
• $\left|AC\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-2\right)\right)}^2+\left(11-{\left(-9\right)}^2\right)}=\sqrt{5^2+{20}^2}=\sqrt{25+400}=\sqrt{425}$  

Trójkąt ABC nie jest trójkątem równoramiennym.

Zauważmy, że

${\left(\sqrt{17}\right)}^2+{\left(\sqrt{425}\right)}^2\stackrel{?}{=}{\left(\sqrt{442}\right)}^2$  

$17+425=442$  

więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.

Odp. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, ale nie jest trójkątem równoramiennym.

---

d)

Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(-4, -5), B=(12, -3) i C=(-6, 7). 

Wyznaczmy długości boków tego trójkąta. Mamy:

• $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(12-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(-3-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{{16}^2+2^2}=\sqrt{256+4}=\sqrt{260}$  
• $\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-6-12\right)}^2+{\left(7-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-18\right)}^2+{10}^2}=\sqrt{324+100}=\sqrt{424}$  
• $\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-6-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(7-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{12}^2}=\sqrt{4+144}=\sqrt{148}$  

Trójkąt ABC nie jest trójkątem równoramiennym.

Zauważmy, że

${\left(\sqrt{148}\right)}^2+{\left(\sqrt{260}\right)}^2\stackrel{?}{=}{\left(\sqrt{424}\right)}^2$   

$148+260\ne 424$  

więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, trójkąt ABC nie jest trójkątem prostokątnym.

Odp. Trójkąt ABC nie jest trójkątem prostokątnym, ani nie jest trójkątem równoramiennym.