Dla jakiej wartości parametru p granica ciągu...- Zadanie 76: MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_{n} = n^{2} (\frac{2 p}{( n + 1 ) ( n + 2 )} - \frac{p + 1}{( n + 2 ) ( n + 3 )}), n \in N_{+}$

gdzie p jest parametrem.

Wzór tego ciągu zapiszmy jako:

$a_{n} = n^{2} (\frac{2 p}{( n + 1 ) ( n + 2 )} - \frac{p + 1}{( n + 2 ) ( n + 3 )}) = \frac{2 p n ^{2}}{n ( 1 + \frac{1}{n} ) \cdot n ( 1 + \frac{2}{n} )} - \frac{( p + 1 ) n ^{2}}{n ( 1 + \frac{2}{n} ) \cdot n ( 1 + \frac{3}{n} )} =$

$= \frac{2 p}{( 1 + \frac{1}{n} ) ( 1 + \frac{2}{n} )} - \frac{p + 1}{( 1 + \frac{2}{n} ) ( 1 + \frac{3}{n} )}$

Wyznaczmy granicę tego ciągu. Mamy:

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim (\frac{2 p}{( 1 + \frac{1}{n} ) ( 1 + \frac{2}{n} )} - \frac{p + 1}{( 1 + \frac{2}{n} ) ( 1 + \frac{3}{n} )}) = (\frac{2 p}{( 1 + 0 ) ( 1 + 0 )} - \frac{p + 1}{( 1 + 0 ) ( 1 + 0 )}) =$

$= 2 p - (p + 1) = 2 p - p - 1 = p - 1$

Z treści zadania wiemy, że granicą tego ciągu jest liczba 6. Mamy stąd równanie:

$p - 1 = 6$

$\underline{\underline{p = 7}}$

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem

$a_{n} = (n + 2)^{2} (\frac{2 p - 1}{n ^{2} + 2 n} - \frac{p + 2}{n ^{2} + 3 n}), n \in N_{+}$

gdzie p jest parametrem.

Wzór tego ciągu zapiszmy jako:

$a_{n} = (n + 2)^{2} (\frac{2 p - 1}{n ^{2} + 2 n} - \frac{p + 2}{n ^{2} + 3 n}) = \frac{( 2 p - 1 ) ( n + 2 ) ^{2}}{n ^{2} + 2 n} - \frac{( p + 2 ) ( n + 2 ) ^{2}}{n ^{2} + 3 n} =$

$= \frac{( 2 p - 1 ) \cdot n ^{2} ( 1 + \frac{2}{n} ) ^{2}}{n ^{2} ( 1 + \frac{2}{n} )} - \frac{( p + 2 ) \cdot n ^{2} ( 1 + \frac{2}{n} ) ^{2}}{n ^{2} ( 1 + \frac{3}{n} )} = \frac{( 2 p - 1 ) ( 1 + \frac{2}{n} ) ^{2}}{1 + \frac{2}{n}} - \frac{( p + 2 ) ( 1 + \frac{2}{n} ) ^{2}}{1 + \frac{3}{n}}$

Wyznaczmy granicę tego ciągu. Mamy:

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim (\frac{( 2 p - 1 ) ( 1 + \frac{2}{n} ) ^{2}}{1 + \frac{2}{n}} - \frac{( p + 2 ) ( 1 + \frac{2}{n} ) ^{2}}{1 + \frac{3}{n}}) =$