a)

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz różnicy r. 

Z treści zadania wiemy, że 

$\{\begin{array}{l}{a}_2=4\\ a_4=16\end{array}$  

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 

$\{\begin{array}{l}{a}_1+r=4\\ a_1+3r=16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-r\\ 4-r+3r=16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-r\\ 4+2r=16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-r\\ 2r=12\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-r\\ r=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-6\\ r=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-2\\ r=6\end{array}$  

Obliczymy sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych.

Podane wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a₂=4 oraz o różnicy równej 2r=12. Mamy więc:

$S=\frac{2\cdot a_2+\left(10-1\right)\cdot 2r}{2}\cdot 10=\frac{2\cdot 4+9\cdot 12}{2}\cdot 10=\frac{8+108}{2}\cdot 10=58\cdot 10=580$  

---

b)

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz różnicy r. Podany ciąg składa się z 16 wyrazów. 

Suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 256, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 240.

Wyrazy o numerach nieparzystych tworzą nowy ciąg  arytmetyczny o pierwszym wyrazie a₁ i różnicy 2r. Sumę tych wyrazów opisuje wyrażenie

$\frac{2a_1+7\cdot 2r}{2}\cdot 8=4\left(2a_1+14r\right)=8a_1+56r$  

Wyrazy o numerach parzystych tworzą nowy ciąg  arytmetyczny o pierwszym wyrazie a₂ i różnicy 2r. Sumę tych wyrazów opisuje wyrażenie

$\frac{2a_2+7\cdot 2r}{2}\cdot 8=4\left(2\left(a_1+r\right)+14r\right)=4\left(2a_1+16r\right)=8a_1+64r$  

Z podanych warunków otrzymujemy układ równań: 

$\{\begin{array}{l}8a_1+56r=240\mid :8\\ 8a_1+64r=256\mid :8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1+7r=30\\ a_1+8r=32\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=30-7r\\ 30-7r+8r=32\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=30-7\cdot 2\\ r=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=16\\ r=2\end{array}$  

czyli

$a_1=16$

Wyznaczmy ostatni wyraz tego ciągu. Mamy:

$a_{16}=16+15\cdot 2=16+30=46$