a)

Obliczmy korzystając z praw działań na logarytmach. Mamy: 

${\log }_{2}25\cdot {\log }_{\sqrt{5}}2=\dots$

Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy:  

$\dots ={\log }_{2}25\cdot \frac{{\log }_{2}2}{{\log }_2\sqrt{5}}={\log }_{2}25\cdot \frac{1}{{\log }_2\sqrt{5}}=\frac{{\log }_{2}25}{{\log }_2\sqrt{5}}=$     

$=\frac{{\log }_2{5}^2}{{\log }_2{5}^{\frac{1}{2}}}=\frac{2{\log }_{2}5}{\frac{1}{2}{\log }_{2}5}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=2\cdot 2=4$  

---

b)

Obliczmy korzystając z praw działań na logarytmach. Mamy: 

${\log }_{0,25}27\cdot {\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{8}=\dots$  

Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy: 

$\dots =\frac{{\log }_{2}27}{{\log }_{2}0,25}\cdot \frac{{\log }_2\frac{1}{8}}{{\log }_2\sqrt{3}}=\frac{{\log }_2{3}^3}{-2}\cdot \frac{-3}{{\log }_2{3}^{\frac{1}{2}}}=\frac{-3\cdot 3{\log }_{2}3}{-2\cdot \frac{1}{2}{\log }_{2}3}=\frac{-9}{-1}=9$  

---

c)

Dana jest liczba:

$9^{6{\log }_{81}2+{\log }_{3}2}$  

Uprośćmy wyrażenie będące wykładnikiem tej potęgi. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy: 

$6{\log }_{81}2+{\log }_{3}2=6\cdot \frac{{\log }_{3}2}{{\log }_{3}81}+{\log }_{3}2=6\cdot \frac{{\log }_{3}2}{4}+{\log }_{3}2=\frac{3}{2}{\log }_{3}2+{\log }_{3}2=\frac{5}{2}{\log }_{3}2$  

Zatem otrzymujemy:

$9^{6{\log }_{81}2+{\log }_{3}2}=9^{\frac{5}{2}{\log }_{3}2}={\left(3^2\right)}^{\frac{5}{2}{\log }_{3}2}=3^{5{\log }_{3}2}=3^{{\log }_3{2}^5}=2^5=32$  

---

d)

Dana jest liczba:

$5^{{\log }_{25}8+{\log }_{\frac{1}{5}}4}$  

Uprośćmy wyrażenie będące wykładnikiem tej potęgi. Korzystając z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu mamy: 

${\log }_{25}8+{\log }_{\frac{1}{5}}4=\frac{{\log }_{5}8}{{\log }_{5}25}+\frac{{\log }_{5}4}{{\log }_5\frac{1}{5}}=\frac{{\log }_{5}8}{2}+\frac{{\log }_{5}4}{-1}=\frac{1}{2}{\log }_{5}8-{\log }_{5}4=$  

$={\log }_5{8}^{\frac{1}{2}}-{\log }_{5}4={\log }_5\sqrt{8}-{\log }_{5}4={\log }_5\frac{\sqrt{8}}{4}={\log }_5\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Zatem otrzymujemy:

$5^{{\log }_{25}8+{\log }_{\frac{1}{5}}4}=5^{{\log }_5\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

---

e)

Obliczmy korzystając z praw działań na logarytmach. Mamy: 

${\left(\sqrt{8}\right)}^{\frac{1}{3{\log }_{5}2}}={\left(2^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3{\log }_{5}2}}=2^{\frac{1}{2{\log }_{5}2}}=2^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{\log }_{5}2}}=2^{\frac{1}{2}{\log }_{2}5}=2^{{\log }_2\sqrt{5}}=\sqrt{5}$  

---

f)

Obliczmy korzystając z praw działań na logarytmach. Mamy: 

$3^{{\log }_{7}4}-4^{{\log }_{7}3}=3^{\frac{{\log }_{3}4}{{\log }_{3}7}}-4^{{\log }_{7}3}={\left(3^{{\log }_{3}4}\right)}^{\frac{1}{{\log }_{3}7}}-4^{{\log }_{7}3}=$  

$4^{\frac{1}{{\log }_{3}7}}-4^{{\log }_{7}3}=4^{\frac{1}{{\log }_{3}7}}-4^{\frac{{\log }_{3}3}{{\log }_{3}7}}=4^{\frac{1}{{\log }_{3}7}}-4^{\frac{1}{{\log }_{3}7}}=0$