a)

Dany jest wielomian $u$ określony wzorem

$u\left(x,y,z\right)=\frac{1}{2}{x}^{2}yz-2x{y}^{2}z+x{z}^2$

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem

$w\left(x,y,z\right)=3x^{2}yz+4xy{z}^2-x{y}^2$  

Wyznaczmy wzór wielomianu v określonego jako

$v\left(x,y,z\right)=4u\left(x,y,z\right)-2w\left(x,y,z\right)$  

Mamy: 

$v\left(x,y,z\right)=4\left(\frac{1}{2}{x}^{2}yz-2x{y}^{2}z+x{z}^2\right)-2\left(3x^{2}yz+4xy{z}^2-x{y}^2\right)=$

$=2x^{2}yz-8x{y}^{2}z+4x{z}^2-6x^{2}yz-8xy{z}^2+2x{y}^2=$   

$=-4x^{2}yz-8x{y}^{2}z-8xy{z}^2+4x{z}^2+2x{y}^2$  

Wyznaczmy wartość wielomianu v dla x=-1, y=2 i z=-¹/₂. Mamy:

$v\left(-1,2,-\frac{1}{2}\right)=-4\cdot {\left(-1\right)}^2\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-8\cdot \left(-1\right)\cdot 2^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-8\cdot \left(-1\right)\cdot 2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)\cdot 2^2=$  

$=4-16+4-1-8=-17$  

---

b)

Dany jest wielomian $u$ określony wzorem

$u\left(x,y,z\right)=\frac{1}{8}{x}^3{y}^{2}z-\frac{1}{4}xy{z}^2$

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem

$w\left(x,y,z\right)=\frac{1}{4}{x}^3{y}^{2}z+\frac{1}{2}x{y}^2{z}^2-xyz$  

Wyznaczmy wzór wielomianu $v$ określonego jako

$v\left(x,y,z\right)=4u\left(x,y,z\right)-2w\left(x,y,z\right)$  

Mamy: 

$v\left(x,y,z\right)=4\left(\frac{1}{8}{x}^3{y}^{2}z-\frac{1}{4}xy{z}^2\right)-2\left(\frac{1}{4}{x}^3{y}^{2}z+\frac{1}{2}x{y}^2{z}^2-xyz\right)=$

$=\frac{1}{2}{x}^3{y}^{2}z-xy{z}^2-\frac{1}{2}{x}^3{y}^{2}z-x{y}^2{z}^2+2xyz=$  

$=-x{y}^2{z}^2-xy{z}^2+2xyz$  

Wyznaczmy wartość wielomianu v dla x=-1, y=2 i z=-¹/₂. Mamy:

$v\left(-1,2,-\frac{1}{2}\right)=-\left(-1\right)\cdot 2^2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-\left(-1\right)\cdot 2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=$  

$=1+\frac{1}{2}+2=3\frac{1}{2}$