Pole powierzchni kuli o promieniu r wyraża się wzorem: $P=4\pi r^2$ Objętość kuli o promieniu r wyraża się wzorem: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

 

Rysunek: 

Kąty 𝛼 mają równe miary, gdyż są to kąty naprzemianległe.

---

a)

Wiedząc, że

$\sin \alpha =0,5\text{i}\left|O{O}_1\right|=2\sqrt{3}\text{cm}$

otrzymujemy:

$0,5=\frac{2\sqrt{3}}{R}\mid \cdot R$   

$0,5R=2\sqrt{3}\mid \cdot 2$  

$R=4\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

Wyznaczmy pole powierzchni tej kuli. Mamy:

$P=4\pi {\left(4\sqrt{3}\right)}^2=4\pi \cdot 16\cdot 3=\underline{\underline{192\pi \left[{\text{cm}}^2\right]}}$  

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy:

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot {\left(4\sqrt{3}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 64\cdot 3\sqrt{3}=\underline{\underline{256\sqrt{3}\pi \left[{\text{cm}}^3\right]}}$  

---

b)

Wiedząc, że

$\text{tg}\alpha =0,75\text{i}\left|O{O}_1\right|=6\text{cm}$  

otrzymujemy

$0,75=\frac{6}{r}\mid \cdot r$  

$0,75r=6\mid :0,75$  

$r=8\left[\text{cm}\right]$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OBO₁ otrzymujemy:

$6^2+8^2=R^2$  

$36+64=R^2$  

$R^2=100\wedge R>0$  

$R=10\left[\text{cm}\right]$  

Wyznaczmy pole powierzchni tej kuli. Mamy:

$P=4\pi {10}^2=4\pi \cdot 100=\underline{\underline{400\pi \left[{\text{cm}}^2\right]}}$  

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy:

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot {10}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 1000=\underline{\underline{\frac{4000\pi }{3}\left[{\text{cm}}^3\right]}}$  

---

c)

Wiedząc, że

$\cos \alpha =\frac{2}{3}\text{i}\left|O{O}_1\right|=2\sqrt{5}\text{cm}$  

otrzymujemy:

$\frac{2}{3}=\frac{r}{R}\mid \cdot R$  

$r=\frac{2}{3}R$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OBO₁ otrzymujemy:

${\left(2\sqrt{5}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}R\right)}^2=R^2$  

$20+\frac{4}{9}{R}^2=R^2$  

$20=\frac{5}{9}{R}^2\mid :\frac{5}{9}$  

$R^2=20\cdot \frac{9}{5}$  

$R^2=36\wedge R>0$  

$R=6\left[\text{cm}\right]$  

Wyznaczmy pole powierzchni tej kuli. Mamy:

$P=4\pi 6^2=4\pi \cdot 36=\underline{\underline{144\pi \left[{\text{cm}}^2\right]}}$  

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy:

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 216=\underline{\underline{288\pi \left[{\text{cm}}^3\right]}}$