Objętość ostrosłupa Objętość dowolnego ostrosłupa wyraża się za pomocą wzoru: $V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy, a H - długością wysokości tego ostrosłupa.

 

Rysunek: 

Dodatkowo, wiemy, że pole jednej ściany bocznej tego ostrosłupa jest równe S. 

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta mamy:

$\frac{1}{2}{b}^2\sin 2\alpha =S\mid \cdot 2$

$b^2\cdot \sin 2\alpha =2S\mid :\sin 2\alpha$

$b^2=\frac{2S}{\sin 2\alpha }$

---

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCS mamy:

$a^2=b^2+b^2-2\cdot b\cdot b\cdot \cos 2\alpha$

$a^2=2b^2-2b^2\cos 2\alpha$

$a^2=2b^2\left(1-\cos 2\alpha \right)$

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta otrzymujemy:

$a^2=2b^2\left(1-\left(1-2{\sin }^2\alpha \right)\right)$

$a^2=2b^2\cdot 2{\sin }^2\alpha$

$a^2=4b^2{\sin }^2\alpha$   

Podstawiając wyznaczone wcześniej b² mamy: 

$a^2=4\cdot \frac{2S}{\sin 2\alpha }\cdot {\sin }^2\alpha$  

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy:

$a^2=4\cdot \frac{2S}{2\sin \alpha \cos \alpha }\cdot {\sin }^2\alpha$  

$a^2=\frac{4S\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$a^2=4S\text{tg}\alpha \wedge a>0,S>0,\text{tg}\alpha >0$  

$a=2\sqrt{S\text{tg}\alpha }$  

---

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta mamy:

$\frac{1}{2}ah=S$

$\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{S\text{tg}\alpha }\cdot h=S$  

$\sqrt{S\text{tg}\alpha }\cdot h=S\mid :\sqrt{S\text{tg}\alpha }$  

$h=\frac{S}{\sqrt{S\text{tg}\alpha }}$

$h=\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{\text{tg}\alpha }}$   

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta EOS mamy:

$H^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=h^2$

$H^2+\frac{1}{4}\cdot 4S\text{tg}\alpha ={\left(\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{\text{tg}\alpha }}\right)}^2$  

$H^2+S\text{tg}\alpha =\frac{S}{\text{tg}\alpha }$  

$H^2=\frac{S}{\text{tg}\alpha }-\frac{S{\text{tg}}^2\alpha }{\text{tg}\alpha }$

$H^2=\frac{S\left(1-{\text{tg}}^2\alpha \right)}{\text{tg}\alpha }\wedge H>0$

Obie strony równości są dodatnie, więc:

$H=\frac{\sqrt{S\left(1-{\text{tg}}^2\alpha \right)}}{\sqrt{\text{tg}\alpha }}$    

$H=\frac{\sqrt{S\text{tg}\alpha \left(1-{\text{tg}}^2\alpha \right)}}{\text{tg}\alpha }$  

---

Wyznaczmy objętość tego ostrosłupa. Mamy:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 4S\text{tg}\alpha \cdot \frac{\sqrt{S\text{tg}\alpha \left(1-{\text{tg}}^2\alpha \right)}}{\text{tg}\alpha }=\underline{\underline{\frac{4}{3}S\sqrt{S\text{tg}\alpha \left(1-{\text{tg}}^2\alpha \right)}}}$