Rysunek:  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DPD₁ mamy:

$a^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2={\left|D_{1}P\right|}^2$

$a^2+\frac{1}{2}{a}^2={\left|D_{1}P\right|}^2$

${\left|D_{1}P\right|}^2=\frac{3}{2}{a}^2\wedge \left|D_{1}P\right|>0,a>0$

$\left|D_{1}P\right|=\frac{\sqrt{6}a}{2}$

---

Rozważmy trójkąt prostokątny DPD₁. Wyznaczmy cosinus kąta 𝛼. Mamy:    

$\cos \alpha =\frac{\left|DS\right|}{\left|D_{1}S\right|}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}a}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{3}}{3}}}$