Rysunek: 

Odcinek x stanowi ¹/₃ długości wysokości trójkąta równobocznego będącego podstawą tego ostrosłupa. Korzystając ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego mamy:

$x=\frac{1}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Korzystając z funkcji sinus dla trójkąta PDS mamy:

$\frac{\left|PD\right|}{\left|DS\right|}=\sin {30}^o$  

$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{h}=\frac{1}{2}\mid \cdot h$  

$\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{2}h\mid \cdot 2$

$h=\frac{4\sqrt{3}}{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta PDS mamy:

${\left|SP\right|}^2+{\left|PD\right|}^2={\left|DS\right|}^2$  

$H^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2={\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2$  

$H^2+\frac{4\cdot 3}{9}=\frac{16\cdot 3}{9}$  

$H^2+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$  

$H^2=\frac{12}{3}$  

$H^2=4\wedge H>0$  

$H=2\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczmy pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy:

$P_p=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Obliczmy objętość tego ostrosłupa. Mamy:

$V=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 2=\underline{\underline{\frac{8\sqrt{3}}{3}\left[{\text{cm}}^3\right]}}$  

Obliczmy pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Mamy:

$P_b=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Mamy:

$P_c=4\sqrt{3}+8\sqrt{3}=\underline{\underline{12\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$