a)

Rysunek: 

Odcinek WA to połowa przekątnej kwadratu, czyli

$\left|WB\right|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$  

Odcinek WS ma taką samą długość jak krawędź sześcianu, czyli

$\left|WS\right|=a$  

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$a^2+{\left(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\right)}^2={\left|AS\right|}^2$  

$a^2+\frac{1}{4}{a}^2\cdot 2={\left|AS\right|}^2$  

$a^2+\frac{1}{2}{a}^2={\left|AS\right|}^2$  

$\frac{3}{2}{a}^2={\left|AS\right|}^2\wedge a>0,\left|AS\right|>0$  

$\left|AS\right|=\sqrt{\frac{3}{2}{a}^2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}a=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}a=\frac{\sqrt{6}}{2}a$  

---

Wyznaczmy sinus kąta 𝛼. Mamy:

$\sin \alpha =\frac{\left|WS\right|}{\left|AS\right|}=\frac{a}{\frac{\sqrt{6}}{2}a}=\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{6}}{3}}}$   

---

---

b)

Rysunek:

Odcinek EW stanowi połowę długości boku kwadratu, czyli

$\left|EW\right|=\frac{1}{2}a$  

Odcinek WS ma taką samą długość jak krawędź sześcianu, czyli

$\left|WS\right|=a$  

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+a^2={\left|ES\right|}^2$  

$\frac{1}{4}{a}^2+a^2={\left|ES\right|}^2$  

$\frac{5}{4}{a}^2={\left|ES\right|}^2\wedge a>0,\left|ES\right|>0$  

$\left|ES\right|=\sqrt{\frac{5}{4}{a}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$   

---

Wyznaczmy sinus kąta 𝛼. Mamy:

$\sin \alpha =\frac{\left|WS\right|}{\left|ES\right|}=\frac{a}{\frac{\sqrt{5}}{2}a}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\underline{\underline{\frac{2\sqrt{5}}{5}}}$