a)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta. 

Rozważmy trójkąt DBC. Wiedząc, że suma miar kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180^o mamy: 

$\phi +{90}^{\circ }+{30}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\phi +{120}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\underline{\underline{\phi ={60}^{\circ }}}$  

Skoro kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym, to

$\delta +\rho ={90}^{\circ }$  

$\delta +{60}^{\circ }={90}^{\circ }$  

$\underline{\underline{\delta ={30}^{\circ }}}$  

---

b)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Odcinek AD jest zawarty jest w dwusiecznej kąta CAB. Mamy więc:

$\left|\sphericalangle CAD\right|=\phi$  

Rozważmy trójkąt ABC. Wiedząc, że suma miar kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180^o mamy: 

$\delta +\delta +{90}^{\circ }+{25}^{\circ }={180}^{\circ }$

$2\delta +{115}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$2\delta ={65}^{\circ }\mid :2$   

$\delta ={32,5}^{\circ }$  

$\underline{\underline{\delta ={32}^{\circ }30{}^{\prime }}}$  

Rozważmy trójkąt ADC. Wiedząc, że suma miar kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180^o mamy: 

$\delta +\phi +{90}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\delta +\phi ={90}^{\circ }$  

${32,5}^{\circ }+\phi ={90}^{\circ }$  

$\phi ={57,5}^{\circ }$  

$\underline{\underline{\phi ={57}^{\circ }30{}^{\prime }}}$  

---

c)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Odcinek CD jest środkową w tym trójkącie. 

Wiedząc, że w trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie mamy:

$\left|AD\right|=\left|CD\right|=\left|BD\right|$  

Trójkąt BCD jest trójkątem równoramiennym, więc

$\underline{\underline{\phi ={40}^{\circ }}}$

Skoro kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym, to

$\phi +\delta ={90}^{\circ }$  

${40}^{\circ }+\delta ={90}^{\circ }$

$\underline{\underline{\delta ={50}^{\circ }}}$