Z wysokości 5 m wypuszczono do góry strzałę z prędkością początkową 50 m/s. Wysokość strzały (w metrach) nad ziemią opisana jest wzorem

$h\left(t\right)=5+50t-5t^2$  

gdzie t jest czasem (w sekundach) lotu tej strzały.

---

a)

Wyznaczmy dziedzinę funkcji h.

Zauważmy, że t⩾0 oraz 

$5+50t-5t^2\ge 0\mid :5$

$-t^2+10t+1\ge 0$   

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji po lewej stronie nierówności. Mamy:

$\Delta ={10}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 1=100+4=104$

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{26}$

$t_1=\frac{-10-2\sqrt{26}}{2\cdot \left(-1\right)}=5+\sqrt{26}$     

$t_1=\frac{-10+2\sqrt{26}}{2\cdot \left(-1\right)}=5-\sqrt{26}$  

Uwzględniając to, że t⩾0 mamy:

$\underline{\underline{D=⟨0,5+\sqrt{26}⟩}}$  

---

b)

Wyznaczmy wartości funkcji h dla argumentów t=3, t=4 oraz t=5. Mamy: 

$h\left(3\right)=5+50\cdot 3-5\cdot 3^2=5+150-45=\underline{\underline{110\left[\text{m}\right]}}$  

$h\left(4\right)=5+50\cdot 4-5\cdot 4^2=5+200-80=\underline{\underline{125\left[\text{m}\right]}}$  

$h\left(5\right)=5+50\cdot 5-5\cdot 5^2=5+250-125=\underline{\underline{130\left[\text{m}\right]}}$  

---

c)

Wyznaczmy, po ilu sekundach od momentu wypuszczenia strzały, osiągnie ona wysokość, z której ją wypuszczono. 

Rozwiążemy równanie: 

$5+50t-5t^2=5$

$-5t^2+50t=0$

$-5t\left(t-10\right)=0$

$-5t=0\vee t-10=0$

$t=0t=10$     

Uwzględniając to, że t>0 otrzymujemy

$\underline{\underline{t=10\left[\text{s}\right]}}$   

Odp. Strzała osiągnie wysokość, taką z jakiej ją wypuszczono, po 10 sekundach. 

---

d)

Wyznaczymy, po ilu sekundach od momentu wypuszczenia, strzała osiągnie największą wysokość. 

Największa wartość funkcji h znajduje się w wierzchołku. Mamy stąd:

$x_W=-\frac{50}{2\cdot \left(-5\right)}=\frac{50}{10}=5\left[\text{s}\right]$  

Odp. Po 5 sekundach od momentu wypuszczenia, strzała osiągnie największą wysokość. 

---

e)

Wyznaczmy, na jaką największą wysokość doleci strzała. Mamy:

$h\left(5\right)=5+50\cdot 5-5\cdot 5^2=5+250-125=\underline{\underline{130\left[\text{m}\right]}}$  

Odp. Strzała doleci na wysokość 130 metrów.