Rysunek: 

Z treści zadania wiemy, że:

$\frac{h_a}{h_a{}^{\prime }}=\frac{h_b}{h_b{}^{\prime }}=\frac{h_c}{h_c{}^{\prime }}$

Wyznaczmy pole trójkąta ABC. Mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$   

stąd:

$a=\frac{2P}{h_a}$  

Wyznaczmy pole trójkąta A₁B₁C₁. Mamy:

$P{}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot a{}^{\prime }\cdot h_a{}^{\prime }$  

stąd:

$a{}^{\prime }=\frac{2P{}^{\prime }}{h_a{}^{\prime }}$  

Wyznaczmy stosunek długości boku AB do boku A₁B₁. Mamy:

$\frac{a}{a{}^{\prime }}=\frac{\frac{2P}{h_a}}{\frac{2P{}^{\prime }}{h_a{}^{\prime }}}=\frac{2P}{h_a}\cdot \frac{h_a{}^{\prime }}{2P{}^{\prime }}=\frac{P}{P{}^{\prime }}\cdot \frac{h_a{}^{\prime }}{h_a}=\frac{P}{P{}^{\prime }}\cdot \frac{h_b{}^{\prime }}{h_b}=\frac{\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_b}{\frac{1}{2}\cdot b{}^{\prime }\cdot h_b{}^{\prime }}\cdot \frac{h_b{}^{\prime }}{h_b}=\frac{b}{b{}^{\prime }}$  

Ponownie, wyznaczmy stosunek długości boku AB do boku A₁B₁. Mamy:

$\frac{a}{a{}^{\prime }}=\frac{\frac{2P}{h_a}}{\frac{2P{}^{\prime }}{h_a{}^{\prime }}}=\frac{2P}{h_a}\cdot \frac{h_a{}^{\prime }}{2P{}^{\prime }}=\frac{P}{P{}^{\prime }}\cdot \frac{h_a{}^{\prime }}{h_a}=\frac{P}{P{}^{\prime }}\cdot \frac{h_c{}^{\prime }}{h_c}=\frac{\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c}{\frac{1}{2}\cdot c{}^{\prime }\cdot h_c{}^{\prime }}\cdot \frac{h_c{}^{\prime }}{h_c}=\frac{c}{c{}^{\prime }}$  

Zatem otrzymaliśmy zależność:

$\frac{a}{a{}^{\prime }}=\frac{b}{b{}^{\prime }}=\frac{c}{c{}^{\prime }}$

Zatem trójkąty ABC i A₁B₁C₁ są podobne na mocy cechy BBB.