Wykaż, że podana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby...- Zadanie 4: MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy. Edycja 2024

Rozwiązanie

Uzasadnimy, że podana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby x∈R.

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:

$x^{4} - 2 x + 2 > x^{2} + 4 x - 8$

$x^{4} - x^{2} - 6 x + 10 > 0$

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 + x^{2} - 6 x + 9 > 0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

$(x^{2} - 1)^{2} + (x - 3)^{2} > 0$

Rozpatrzmy składniki otrzymanej sumy. Zauważmy, że

$(x^{2} - 1)^{2} \geq 0 i (x - 3)^{2} \geq 0 dla dowolnego x \in R$
nie istnieje takie x, dla którego jednocześnie oba składniki sumy są równe 0. Pierwszy składnik przyjmuje wartość 0 dla x=1 lub dla x=-1, a drugi składnik - dla x=3.

Zatem ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnego x∈R, zatem również nierówność

$x^{4} - 2 x + 2 > x^{2} + 4 x - 8$

zachodzi dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

Uzasadnimy, że podana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby x∈R.

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:

$x^{4} - 4 x^{2} + 5 > 4 x - 12$

$x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 17$

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + 4 x^{2} - 4 x + 1 > 0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

$(x^{2} - 4)^{2} + (2 x - 1)^{2} > 0$

Rozpatrzmy składniki otrzymanej sumy. Zauważmy, że

$(x^{2} - 4)^{2} \geq 0 i (2 x - 1)^{2} \geq 0 dla dowolnego x \in R$
nie istnieje takie x, dla którego jednocześnie oba składniki sumy są równe 0. Pierwszy składnik przyjmuje wartość 0 dla x=2 lub dla x=-2, a drugi składnik - dla x=¹/₂.