Objętość stożka o promieniu podstawy r i wysokości długości h wyraża się wzorem: $V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy stożka.

---

a)

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoboczny o polu równym 16√3 cm². Niech a będzie długością boku tego trójkąta. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy:  

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\mid \cdot 4$  

$a^2\sqrt{3}=64\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a^2=64\wedge a>0$  

$a=\sqrt{64}$

$a=8\left[\text{cm}\right]$  

---

Rysunek:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OAS mamy: 

$4^2+h^2=8^2$  

$16+h^2=64$  

$h^2=64-16$

$h^2=48\wedge h>0$  

$h=\sqrt{48}$

$h=\sqrt{16\cdot 3}$

$h=4\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Wyznaczmy objętość tego stożka. Mamy:

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4^2\cdot 4\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 16\cdot 4\sqrt{3}=\underline{\underline{\frac{64\sqrt{3}}{3}\pi \left[{\text{cm}}^3\right]}}$  

---

---

b)

Rysunek:

Pole powierzchni podstawy tego stożka jest równe 27𝜋 cm². Mamy stąd:

$\pi r^2=27\pi \mid :\pi$  

$r^2=27\wedge r>0$  

$r=3\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Objętość tego stożka jest równa 27𝜋 cm³. Mamy stąd

$\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left(3\sqrt{3}\right)}^2\cdot h=27\pi$   

$\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 27h=27\pi$  

$9\pi h=27\pi \mid :9\pi$  

$h=3\left[\text{cm}\right]$  

---

Wyznaczmy tangens kąta 𝛼. Mamy: 

$\text{tg}\alpha =\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$   

a stąd otrzymujemy

$\underline{\underline{\alpha ={30}^o}}$