Pole powierzchni całkowitej walca o promieniu podstawy r i wysokości długości h wyraża się wzorem: $P_c=2P_p+P_b=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy walca, a Pb - polem jego powierzchni bocznej.

 

Objętość walca o promieniu podstawy r i wysokości długości h wyraża się wzorem: $V=P_p\cdot h=\pi r^{2}h$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy walca.

 

Rysunek: 

---

a)

Wiemy, że d=6 oraz 𝛼=30^o. Wprowadźmy to na rysunku trójkąta znajdującego się w przekroju walca.

Korzystając ze związku między długościami boków w trójkącie o kątach 30^o, 60^o, 90^o mamy: 

$h=\frac{1}{2}\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 6=3$

oraz

$2r=h\sqrt{3}=3\sqrt{3}$

więc

$r=\frac{3\sqrt{3}}{2}$    

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego walca. Mamy:

$P_c=2\pi \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}+3\right)=3\sqrt{3}\pi \cdot \sqrt{3}\left(\frac{3}{2}+\sqrt{3}\right)=\underline{\underline{9\pi \left(\frac{3}{2}+\sqrt{3}\right)}}$  

Wyznaczmy objętość tego walca. Mamy:

$V=\pi \cdot {\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2\cdot 3=\pi \cdot \frac{27}{4}\cdot 3=\underline{\underline{\frac{81}{4}\pi }}$  

---

b)

Wiemy, że d=8 oraz 𝛼=60^o. Wprowadźmy to na rysunku trójkąta znajdującego się w przekroju walca.

Korzystając ze związku między długościami boków w trójkącie o kątach 30^o, 60^o, 90^o mamy: 

$2r=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\cdot 8=4$

więc

$r=2$

oraz

$h=2r\sqrt{3}=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$    

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego walca. Mamy:

$P_c=2\pi \cdot 2\cdot \left(2+4\sqrt{3}\right)=\underline{\underline{8\pi \left(1+2\sqrt{3}\right)}}$  

Wyznaczmy objętość tego walca. Mamy:

$V=\pi \cdot 2^2\cdot 4\sqrt{3}=\underline{\underline{16\sqrt{3}\pi }}$  

---

c)

Wiemy, że d=12 oraz 𝛼=45^o. Wprowadźmy to na rysunku trójkąta znajdującego się w przekroju walca.

Korzystając ze związku między długościami boków w trójkącie o kątach 45^o, 45^o, 90^o (jest to połowa kwadratu) mamy: 

$h=2r$

oraz

$d=h\sqrt{2}$

Stąd

$h=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$

oraz

$2r=h=6\sqrt{2}$

więc

$r=3\sqrt{2}$    

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego walca. Mamy:

$P_c=2\pi \cdot 3\sqrt{2}\cdot \left(3\sqrt{2}+6\sqrt{2}\right)=6\pi \sqrt{2}\cdot 9\sqrt{2}=\underline{\underline{108\pi }}$  

Wyznaczmy objętość tego walca. Mamy:

$V=\pi \cdot {\left(3\sqrt{2}\right)}^2\cdot 6\sqrt{2}=\pi \cdot 18\cdot 6\sqrt{2}=\underline{\underline{108\sqrt{2}\pi }}$