W ciągu pierwszego roku Janusz wpłaci 12 razy po a zł, oprocentowanie wynosi 3%. Po roku nastąpi pierwsza kapitalizacja odsetek czyli na koncie będzie miał:

$12a\left(1+p\%\right)=12a\cdot \left(1+p\%\right)$  

W ciągu drugiego roku znowu wpłaci 12 razy po a zł, zatem:

$\left(12a\cdot \left(1+p\%\right)+12a\right)\cdot \left(1+p\%\right)=12a\cdot {\left(1+p\%\right)}^2+12a\cdot \left(1+p\%\right)$  

Zauważmy, że postępując tak przez 40 lat otrzymamy:

$12a\cdot {\left(1+p\%\right)}^{40}+12a\cdot {\left(1+p\%\right)}^{39}+...+12a\cdot \left(1+p\%\right)$  

Zauważmy, że jest to suma 40 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (b_n) o pierwszym wyrazie i ilorazie wynoszących:

$\{\begin{array}{l}{b}_1=12a\cdot \left(1+p\%\right)\\ q=\left(1+p\%\right)\end{array}$  

Obliczmy zatem sumę 40 początkowych wyrazów takiego ciągu:

$S_{40}=b_1\cdot \frac{1-q^{40}}{1-q}=12a\cdot p\%\cdot \frac{1-{\left(p\%\right)}^{40}}{1-p\%}$  

 

$a)\{\begin{array}{l}a=200\\ p=3\end{array}$  

$1+p\%=1+3\%=1+0,03=1,03$  

$S_{40}=12\cdot 200\cdot 1,03\cdot \frac{1-{\left(1,03\right)}^{40}}{1-1,03}\approx 186391,91\approx 186392\left[\text{zł}\right]$  

 

$b)\{\begin{array}{l}a=100\\ p=6\end{array}$  

$1+p\%=1+6\%=1+0,06=1,06$  

$S_{40}=12\cdot 100\cdot 1,06\cdot \frac{1-{\left(1,06\right)}^{40}}{1-1,06}\approx 196857,22\approx 196857\left[\text{zł}\right]$  

 

$c)\{\begin{array}{l}a=50\\ p=5\end{array}$  

$1+p\%=1+5\%=1+0,05=1,05$  

$S_{40}=12\cdot 50\cdot 1,05\cdot \frac{1-{\left(1,05\right)}^{40}}{1-1,05}\approx 76103,86\approx 76104\left[\text{zł}\right]$