W trójkącie $ABC$ bok $AC$ leży naprzeciwko kąta $ABC$, a bok $BC$ leży naprzeciwko kąta $CAB$. Wiemy, że:

$\left|BC\right|=8$

$\left|\sphericalangle CAB\right|=45^{\circ }$

$\left|\sphericalangle BCA\right|=120^{\circ }$

Suma kątów w trójkącie $ABC$ wynosi $180^{\circ }$, a więc:

$\left|\sphericalangle ABC\right|=180^{\circ }-120^{\circ }-45^{\circ }=15^{\circ }$

Z przykładu 4 wiemy, że:

$\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Korzystając z twierdzenia sinusów i oznaczając promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ jako $R$, możemy zapisać:

$\frac{\left|AC\right|}{\sin \left(\sphericalangle ABC\right)}=\frac{\left|BC\right|}{\sin \left(\sphericalangle CAB\right)}$

$\frac{\left|AC\right|}{\sin 15^{\circ }}=\frac{8}{\sin 45^{\circ }}|\cdot \sin 15^{\circ }$

$\left|AC\right|=\frac{8\sin 15^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$

$\left|AC\right|=\frac{8\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\left|AC\right|=\frac{2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\left|AC\right|=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

$\left|AC\right|=4\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\left|AC\right|=4\cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)$

$\left|AC\right|=4\cdot \left(\sqrt{3}-1\right)$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{\left|AC\right|=4\cdot \left(\sqrt{3}-1\right)}}$