Pierwszego dnia zużyto $100$  beczek prochu, więc

$a_1=100$

Każdego następnego dnia zużywano o $5$  beczek mniej niż poprzedniego, zatem

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r=a_1+\left(n-1\right)\cdot \left(-5\right)=a_1-5n+5=100-5n+5=105-5n$

Wszystkich beczek prochu było $1000$ , chcemy wiedzieć, na ile dni wystarczył taki zapas.

Suma $n$  początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$  wyraża się wzorem

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ .

Możemy zapisać

$S_n=1000$

$1000=\frac{100+\left(105-5n\right)}{2}\cdot n$  

$1000=\frac{205-5n}{2}\cdot n\mid \cdot 2$  

$2000=\left(205-5n\right)\cdot n$  

$2000=205n-5n^2\mid -2000$  

$0=-5n^2+205n-2000\mid :5$  

$0=-n^2+41n-400$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe z niewiadomą $n$  

$-n^2+41n-400=0$  

$\Delta ={41}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-400\right)=1681-1600=81$  

$n_1=\frac{-41-\sqrt{81}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-41-9}{-2}=\frac{-50}{-2}=25$  

$n_2=\frac{-41+\sqrt{81}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-41+9}{-2}=\frac{-32}{-2}=16$  

Zauważmy, że dla $n=17$ liczba beczek prochu będzie ujemna, zatem nie rozważamy dalszych wartości. Zapas prochu skończył się po $16$  dniach.