Wyznacz sumę n początkowych wyrazów ciągu ...- Zadanie 3.2: Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Edycja 2024

Rozwiązanie

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ wyraża się wzorem

$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$ .

Przypomnijmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego $(a_{n})$

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$ .

$a)$ $a_{1} = 3$ , $r = 2$ , $n = 8$

Wyznaczamy wyraz $a_{8}$

$a_{8} = 3 + (8 - 1) \cdot 2 = 3 + 7 \cdot 2 = 3 + 14 = 17$ .

Obliczamy sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$

$S_{8} = \frac{3 + 17}{2} \cdot 8 = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ .

$b)$ $a_{1} = - 10$ , $r = 3$ , $n = 20$

Wyznaczamy wyraz $a_{20}$

$a_{20} = - 10 + (20 - 1) \cdot 3 = - 10 + 19 \cdot 3 = - 10 + 57 = 47$ .

Obliczamy sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$

$S_{20} = \frac{- 10 + 47}{2} \cdot 20 = \frac{37}{2} \cdot 20 = 370$ .

$c)$ $a_{1} = 50$ , $r = - \frac{1}{2}$ , $n = 17$

Wyznaczamy wyraz $a_{17}$

$a_{17} = 50 + (17 - 1) \cdot (- \frac{1}{2}) = 50 + 16 \cdot (- \frac{1}{2}) = 50 - 8 = 42$ .

Obliczamy sumę siedemnastu początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$

$S_{17} = \frac{50 + 42}{2} \cdot 17 = \frac{92}{2} \cdot 17 = 46 \cdot 17 = 782$ .

$d)$ $a_{1} = 4, 35$ , $r = 0$ , $n = 100$

Wyznaczamy wyraz $a_{100}$

$a_{100} = 4, 35$ .

Obliczamy sumę stu początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$

$S_{100} = \frac{4 , 35 + 4 , 35}{2} \cdot 100 = \frac{8 , 7}{2} \cdot 100 = 4, 35 \cdot 100 = 435$ .

$e)$ $a_{1} = 35$ , $r = - 2$ , $n = 7$

Wyznaczamy wyraz $a_{7}$

$a_{7} = 35 + (7 - 1) \cdot (- 2) = 35 + 6 \cdot (- 2) = 35 - 12 = 23$ .

Obliczamy sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$

$S_{7} = \frac{35 + 23}{2} \cdot 7 = \frac{58}{2} \cdot 7 = 29 \cdot 7 = 203$ .

$f)$ $a_{1} = 2$ , $r = 22$ , $n = 5$

Wyznaczamy wyraz $a_{5}$

$a_{5} = 2 + (5 - 1) \cdot 22 = 2 + 4 \cdot 22 = 2 + 82 = 92$ .

Obliczamy sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$

$S_{5} = \frac{2 + 9 2}{2} \cdot 5 = \frac{10 2}{2} \cdot 5 = 52 \cdot 5 = 252$ .

$g)$ $a_{1} = 3 \frac{1}{2}$ , $r = - \frac{1}{4}$ , $n = 8$

Wyznaczamy wyraz $a_{8}$

$a_{8} = 3 \frac{1}{2} + (8 - 1) \cdot (- \frac{1}{4}) = \frac{7}{2} + 7 \cdot (- \frac{1}{4}) = \frac{14}{4} - \frac{7}{4} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$ .

Obliczamy sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$

$S_{8} = \frac{3 \frac{1}{2} + 1 \frac{3}{4}}{2} \cdot 8 = \frac{\frac{14}{4} + \frac{7}{4}}{2} \cdot 8 = \frac{\frac{21}{4}}{2} \cdot 8 = \frac{21}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 = 21$ .