Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej...- Zadanie 2: NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) y = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25, Δ = 25 = 5$

$x_{1} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y = 2 (x + \frac{1}{2}) (x - 2)$

$b) y = - x^{2} + x + 6$

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6 = 1 + 24 = 25, Δ = 25 = 5$

$x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 6}{- 2} = 3, x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{4}{- 2} = - 2$

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y = - (x - 3) (x + 2)$

$c) y = 4 x^{2} - x - 3$

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3) = 1 + 48 = 49, Δ = 49 = 7$

$x_{1} = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{- 6}{8} = - \frac{3}{4}, x_{2} = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y = 4 (x + \frac{3}{4}) (x - 1)$

$d) y = 3 x^{2} - 5 x + 1$

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 25 - 12 = 13, Δ = 13$

$x_{1} = \frac{5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 13}{6}, x_{2} = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 13}{6}$

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y = 3 (x - \frac{5 - 13}{6}) (x - \frac{5 + 13}{6})$

$e) y = - 4 x^{2} + 2 x - 1$

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 1) = 4 - 16 = - 12 < 0$

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków i nie można go przedstawić w postaci iloczynowej.

$f) y = x^{2} + 3 x - 6$

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$Δ = (3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 3 + 24 = 27, Δ = 27 = 9 \cdot 3 = 33$

$x_{1} = \frac{- 3 - 3 3}{2} = \frac{- 4 3}{2} = - 23, x_{2} = \frac{- 3 + 3 3}{2} = \frac{2 3}{2} = 3$

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y = (x + 23) (x - 3)$

$g) y = 10 - 2 x^{2} = - 2 x^{2} + 10$

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$Δ = 0^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 10 = 80, Δ = 80 = 16 \cdot 5 = 45$

$x_{1} = \frac{0 - 4 5}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{- 4 5}{- 4} = 5, x_{2} = \frac{0 + 4 5}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{4 5}{- 4} = - 5$

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y = - 2 (x - 5) (x + 5)$

$h) y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{6} x$

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$Δ = (\frac{1}{6})^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{36}, Δ = \frac{1}{36} = \frac{1}{6}$

$x_{1} = \frac{- \frac{1}{6} - \frac{1}{6}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{- \frac{2}{6}}{\frac{2}{3}} = - \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{- \frac{1}{6} + \frac{1}{6}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{0}{\frac{2}{3}} = 0$

Zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$y = \frac{1}{3} x (x + \frac{1}{2})$

$i) y = 6 x^{2} + 9$

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$Δ = 0^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 9 = 0 - 216 = - 216 < 0$

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków i nie można go przedstawić w postaci iloczynowej.

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa

13:53

Zobacz lekcję

Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

11:41

Zobacz lekcję

Własności funkcji kwadratowej

15:15

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.