Rysunek pomocniczy:

---

a) Rozpatrzmy pomocniczą funkcję:

$f\left(x\right)=\left(k-3\right)x+2$  

Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)≤0 jest przedział (-oo, -2>, gdy jest to funkcja rosnąca, której miejscem zerowym jest -2.

• Funkcja f jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni, czyli:

$k-3>0$  

$k>3$  

• Sprawdzamy, dla jakiej wartości parametru k miejscem zerowym funkcji jest liczba -2:

$f\left(-2\right)=0$  

$\left(k-3\right)\cdot \left(-2\right)+2=0$  

$-2\left(k-3\right)=-2\mid :\left(-2\right)$  

$k-3=1$  

$k=4>3$  

Zatem warunki zadania są spełnione dla k=4.

---

b) Rozpatrzmy pomocniczą funkcję:

$f\left(x\right)=\left(k+1\right)x+6$  

Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)>0 jest przedział (-oo, 3), gdy jest to funkcja malejąca, której miejscem zerowym jest 3.

• Funkcja f jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny, czyli:

$k+1<0$  

$k<-1$  

• Sprawdzamy, dla jakiej wartości parametru k miejscem zerowym funkcji jest liczba 3:

$f\left(3\right)=0$  

$\left(k+1\right)\cdot 3+6=0$  

$3\left(k+1\right)=-6\mid :3$  

$k+1=-2$  

$k=-3<-1$  

Zatem warunki zadania są spełnione dla k=-3.

---

c) Przekształcamy równoważnie daną nierówność:

$kx+3\ge 4x$  

$kx-4x+3\ge 0$  

$\left(k-4\right)x+3\ge 0$  

Rozpatrzmy pomocniczą funkcję:

$f\left(x\right)=\left(k-4\right)x+3$  

Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)≥0 jest przedział <1, +oo), gdy jest to funkcja rosnąca, której miejscem zerowym jest 1.

• Funkcja f jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni, czyli:

$k-4>0$  

$k>4$  

• Sprawdzamy, dla jakiej wartości parametru k miejscem zerowym funkcji jest liczba 1:

$f\left(1\right)=0$  

$\left(k-4\right)\cdot 1+3=0$  

$k-4+3=0$  

$k-1=0$  

$k=1<4$  

Nie istnieje taka wartość parametru k, dla którego zbiorem rozwiązań nierówności f(x)≥0 jest przedział <1, +oo).

---

d) Przekształcamy równoważnie daną nierówność:

$2x<kx+2$  

$2x-kx-2<0$  

$\left(2-k\right)x-2<0$  

Rozpatrzmy pomocniczą funkcję:

$f\left(x\right)=\left(2-k\right)x-2$  

Zbiorem rozwiązań nierówności f(x)<0 jest przedział (-4 +oo), gdy jest to funkcja malejąca, której miejscem zerowym jest -4.

• Funkcja f jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny, czyli:

$2-k<0$  

$2<k$  

$k>2$  

• Sprawdzamy, dla jakiej wartości parametru k miejscem zerowym funkcji jest liczba -4:

$f\left(-4\right)=0$  

$\left(2-k\right)\cdot \left(-4\right)-2=0$  

$-4\left(2-k\right)=2\mid :\left(-4\right)$  

$2-k=-\frac{1}{2}$  

$-k=-2\frac{1}{2}\mid \cdot \left(-1\right)$  

$k=2\frac{1}{2}>2$  

Zatem warunki zadania są spełnione dla  $k=2\frac{1}{2}.$