$\text{a)}\frac{1}{2}ax-4a=x+a$  

$\frac{1}{2}ax-x=a+4a$  

$\left(\frac{1}{2}a-1\right)x=5a$  

Aby wyznaczyć x, należy obie strony równania podzielić przez wyrażenie  $\left(\frac{1}{2}a-1\right).$  Można tę operację wykonać tylko przy założeniu, że:

$\frac{1}{2}a-1\ne 0$  

$\frac{1}{2}a\ne 1\mid \cdot 2$  

$a\ne 2$  

Musimy zatem rozważyć dwie sytuacje:

• $a\ne 2$  

$\left(\frac{1}{2}a-1\right)x=5a\mid :\left(\frac{1}{2}a-1\right)\ne 0$  

$x=\frac{5a}{\frac{1}{2}a-1}=\frac{5a}{\frac{a-2}{2}}=5a\cdot \frac{2}{a-2}=\frac{10a}{a-2}$  

• $a=2$  

$\left(\frac{1}{2}a-1\right)x=5a$  

$0\cdot x=5\cdot 2$  

$0=10$  

Równanie sprzeczne.

Podsumowując:

• Dla a≠2 równanie ma jedno rozwiązanie. Jest nim liczba  $x=\frac{10a}{a-2}.$  
• Dla a=2 równanie jest sprzeczne.

---

$\text{b)}\left(a-1\right)x+4=3x+a$  

$\left(a-1\right)x-3x=a-4$  

$\left(a-1-3\right)x=a-4$  

$\left(a-4\right)x=a-4$  

Aby wyznaczyć x, należy obie strony równania podzielić przez (a-4). Można tę operację wykonać tylko przy założeniu, że a-4≠0, czyli a≠4. Musimy więc rozważyć dwie sytuacje:

• $a\ne 4$  

$\left(a-4\right)x=a-4\mid :\left(a-4\right)\ne 0$  

$x=1$  

• $a=4$  

$\left(a-4\right)x=a-4$  

$0\cdot x=4-4$  

$0=0$  

Równanie jest tożsamościowe.

Podsumowując:

• Dla a≠4 równanie ma jedno rozwiązanie. Jest nim liczba x=1.
• Dla a=4 równanie jest tożsamościowe.

---

$\text{c)}4a^{2}x+\frac{1}{2}=a+x$  

$4a^{2}x-x=a-\frac{1}{2}$  

$\left(4a^2-1\right)x=a-\frac{1}{2}$  

Aby wyznaczyć x, należy obie strony równania podzielić przez wyrażenie 4a²-1. Można tę operację wykonać tylko przy założeniu, że:

$4a^2-1\ne 0$  

$4a^2\ne 1\mid :4$  

$a^2\ne \frac{1}{4}$  

$a\ne \frac{1}{2}\text{i}a\ne -\frac{1}{2}$  

Musimy zatem rozważyć trzy sytuacje:

• $a\ne \frac{1}{2}\text{i}a\ne -\frac{1}{2}$  

$\left(4a^2-1\right)x=a-\frac{1}{2}\mid :\left(4a^2-1\right)\ne 0$  

$x=\frac{a-\frac{1}{2}}{4a^2-1}=\frac{a-\frac{1}{2}}{4\left(a^2-\frac{1}{4}\right)}=\frac{a-\frac{1}{2}}{4\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(a+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{4\left(a+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{4a+2}$  

• $a=\frac{1}{2}$  

$\left(4a^2-1\right)x=a-\frac{1}{2}$  

$0\cdot x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$  

$0=0$  

Równanie jest tożsamościowe.

• $a=-\frac{1}{2}$  

$\left(4a^2-1\right)x=a-\frac{1}{2}$  

$0\cdot x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$  

$0=-1$  

Równanie jest sprzeczne.

Podsumowując:

• Dla $a\in \mathbf{R}\backslash \left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}$  równanie ma jedno rozwiązanie. Jest nim liczba  $x=\frac{1}{4a+2}.$  
• Dla $a=\frac{1}{2}$  równanie jest tożsamościowe.
• Dla $a=-\frac{1}{2}$  równanie jest sprzeczne.