Rozpoczniemy od zapisania tej liczby w prostszej postaci korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

${\left(2\sqrt{6}a-\sqrt{2}\right)}^2=$

$={\left(2\sqrt{6}a\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{6}a\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=$ 

$=4\cdot 6a^2-4\sqrt{12}a+2=$ 

$=24a^2-4\sqrt{4\cdot 3}a+2=$ 

$=24a^2-4\cdot 2\sqrt{3}a+2=$ 

$=24a^2-8\sqrt{3}a+2$

$2\in \mathbb{Z}$

Zastanówmy się teraz nad wyrażeniem $24a^2-8\sqrt{3}a$.

---

Dla $a=\sqrt{6}$ mamy:

$24\cdot {\left(\sqrt{6}\right)}^2-8\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=$ 

$=24\cdot 6-8\sqrt{18}=24\cdot 6-8\sqrt{9\cdot 2}=$ 

$=144-27\sqrt{2}\notin \mathbb{Z}$

---

Dla $a=\frac{\sqrt{6}}{2}$ mamy:

$24\cdot {\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2-8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}=$

$=24\cdot \frac{6}{4}-4\sqrt{18}=6\cdot 6-4\sqrt{9\cdot 2}=$ 

$=36-12\sqrt{2}\notin \mathbb{Z}$

---

Dla $a=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ mamy:

$24\cdot {\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2-8\sqrt{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=$ 

$=24\cdot \frac{9\cdot 3}{4}-4\cdot 3\cdot \sqrt{9}=6\cdot 9\cdot 3-12\cdot 3\in \mathbb{Z}$

Zatem dla $a=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ liczba podana w poleceniu jest całkowita.

---

Zobaczmy co się dzieje w przypadku $a=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$24\cdot {\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2-8\sqrt{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=$

$=24\cdot \frac{4\cdot 2}{9}-\frac{16\sqrt{6}}{3}\notin \mathbb{Z}$

---

Przejdźmy do $a={\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2-8$.

$a={\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2-8=$

$=6-2\sqrt{12}+2-8=-2\sqrt{12}=$

$=-2\sqrt{4\cdot 3}=-4\sqrt{3}$

Zatem

$24\cdot {\left(-4\sqrt{3}\right)}^2-8\sqrt{3}\cdot \left(-4\sqrt{3}\right)=$

$=-24\cdot 16\cdot 3+32\cdot 3\in \mathbb{Z}$

Więc liczba z polecenia tego zadania będzie całkowita.

---

Dla pewności sprawdźmy jeszcze co się dzieje, gdy $a={\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2-4\sqrt{3}$.

$a={\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2-4\sqrt{3}=$ 

$=6+2\sqrt{12}+2-4\sqrt{3}=$ 

$=9+2\sqrt{4\cdot 3}-4\sqrt{3}=$

$=9+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=9$

 Zatem

$24a^2-8\sqrt{3}a=24\cdot 9^2-8\sqrt{3}\cdot 9\notin \mathbb{Z}$

---

 Odp. C, E