$\text{a)}$  

$2x^2-4x>\left(x+3\right)\left(x-2\right)\mid -\left(x+3\right)\left(x-2\right)$  

$2x^2-4x-\left(x+3\right)\left(x-2\right)>0$  

$2x\left(x-2\right)-\left(x+3\right)\left(x-2\right)>0$  

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$\left(x-2\right)\left[2x-\left(x+3\right)\right]>0$  

$\left(x-2\right)\left(2x-x-3\right)>0$  

$\left(x-2\right)\left(x-3\right)>0$  

Zauważmy, że jeśli mielibyśmy do rozwiązania równanie

$\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$

to

$x-2=0\text{lub}x-3=0$

$x=0\text{lub}x=3$

Zaznaczamy teraz te liczby na osi $x$.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (1>0), więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Szkicujemy pomocniczy wykres funkcji. 

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ;2\right)\cup \left(3;+\infty \right)$  

---

$\text{b)}$  

$2x^2-4x>3x^2-6x$  

$2x\left(x-2\right)>3x\left(x-2\right)\mid -3x\left(x-2\right)$  

$2x\left(x-2\right)-3x\left(x-2\right)>0$  

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$\left(x-2\right)\left(2x-3x\right)>0$  

$\left(x-2\right)\cdot \left(-x\right)>0$  

$-x\left(x-2\right)>0$  

Zauważmy, że jeśli mielibyśmy do rozwiązania równanie

$-x\left(x-2\right)=0$

to

$-x=0\text{lub}x-2=0$

$x=0\text{lub}x=2$

Zaznaczamy teraz te liczby na osi $x$.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną (-1<0), więc ramiona paraboli skierowane są do dołu. Szkicujemy pomocniczy wykres funkcji.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(0;2\right)$  

---

$\text{c)}$  

$8x^2-72x\le 0$  

$8x\left(x-9\right)\le 0$  

Zauważmy, że jeśli mielibyśmy do rozwiązania równanie

$8x\left(x-9\right)=0$

to

$8x=0\text{lub}x-9=0$

$x=0\text{lub}x=9$

Zaznaczamy teraz te liczby na osi $x$.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (8>0), więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Szkicujemy teraz pomocniczy wykres funkcji.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in ⟨0;9⟩$  

---

$\text{d)}$  

$2x^2-3x>5\mid -5$  

$2x^2-3x-5>0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-5\right)=9+40=49$  

Wyznaczamy pierwiastki.

$x_1=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{3-7}{4}=\frac{-4}{4}=-1$  

$x_2=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{3+7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$  

Mamy więc:

$2\left(x+1\right)\left(x-2\frac{1}{2}\right)>0$  

Wyznaczone przed chwilą pierwiastki trójmianu kwadratowego zaznaczamy teraz na osi $x$.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (2>0), więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Szkicujemy pomocniczy wykres funkcji.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(2\frac{1}{2};+\infty \right)$