Postać:

$y=a{\left(x-p\right)}^2+q,\text{gdzie}a,p,q\in \mathbb{R},a\ne 0$  

nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$   jest punkt $\left(p,q\right)$  .

 

$\text{a)}$  

Wzór funkcji  $f$  zapiszemy w postaci kanonicznej. 

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-4x+7=\frac{1}{2}\left(x^2-8x+16\right)-1=\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2-1$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych  $\left(4,-1\right)$ .

Szkicujemy wykres funkcji  $f$ .

---

$\text{b)}$  

Wzór funkcji  $f$  zapiszemy w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=-3x^2+12x-10=-3\left(x^2-4x+4\right)+2=-3{\left(x-2\right)}^2+2$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych  $\left(2,2\right)$ .

Szkicujemy wykres funkcji  $f$ .

---

$\text{c)}$  

Wzór funkcji  $f$  zapiszemy w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=x^2-3x+5=x^2-2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych  $\left(\frac{3}{2},\frac{11}{4}\right)$ .

Szkicujemy wykres funkcji  $f$ .

 

Uzupełniamy tabelę.

Własności funkcji  $f$ :	$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-4x+7$	$f\left(x\right)=-3x^2+12x-10$	$f\left(x\right)=x^2-3x+5$
Zbiór wartości	$⟨-1;+\infty )$	$(-\infty ;2⟩$	$⟨\frac{11}{4},+\infty )$
Przedziały  monotoniczności	maleje w  $(-\infty ;4⟩$   rośnie w  $⟨4;+\infty )$	rośnie w  $(-\infty ;2⟩$   maleje w  $⟨2;+\infty )$	maleje w  $(-\infty ;\frac{3}{2}⟩$   rośnie w  $⟨\frac{3}{2};+\infty )$
Liczba miejsc  zerowych	$2$	$2$	$0$
Równanie osi symetrii  wykresu funkcji	$x=4$	$x=2$	$x=\frac{3}{2}$