Wykonajmy rysunek pomocniczy: 

Proste  $AC\text{i}BD$  są równoległe, stąd

$\left|\sphericalangle OAC\right|=\left|\sphericalangle OBD\right|$  

$\left|\sphericalangle OCA\right|=\left|\sphericalangle ODB\right|$  

Trójkąty  $\Delta OAC\text{i}\Delta OBD$  mają wspólny kąt przy wierzchołku  $O$ . Są więc podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt.

Wyznaczamy skalę podobieństwa  $k$  trójkątów  $\Delta OAC\text{i}\Delta OBD$ .

$k=\frac{\left|OA\right|}{\left|OB\right|}=\frac{\left|OA\right|}{\left|OA\right|+\left|AB\right|}=\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{4}{3}x+x}=\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{7}{3}x}=\frac{4}{7}$  

Zatem:

$\frac{\left|AC\right|}{\left|BD\right|}=\frac{4}{7}$