Proste $y=a_{1}x+b_1\left(a_1\ne 0\right)\text{i}y=a_{2}x+b_2$  są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy: 

$a_2=-\frac{1}{a_1}$  

Wyznaczamy wartości parametru  $m$ , dla których dane proste są prostopadłe.

$\sqrt{2}=-\frac{1}{2m-3}\mid \cdot \left(2m-3\right),\mathbf{m}\ne \frac{3}{2}$  

$\sqrt{2}\left(2m-3\right)=-1$  

$2\sqrt{2}m-3\sqrt{2}=-1\mid +3\sqrt{2}$  

$2\sqrt{2}m=3\sqrt{2}-1\mid :2\sqrt{2}$  

$m=\frac{3\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$  

Obliczamy wartość podanego wyrażenia.

$m+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\left(3\sqrt{2}-1\right)\cdot 2}{2\sqrt{2}\cdot 2}+\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{4\cdot \sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}-2}{4\sqrt{2}}+2\frac{)}{4\sqrt{2}}=$  

$=\frac{6\sqrt{2}-2+2}{4\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\in \mathbb{Q}$