Przypomnijmy, że środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący jego wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.

---

Z treści zadania wiemy, że punkty

$P\left(-3,2\right),Q\left(-1,0\right),R\left(1,4\right)$  

są środkami boków trójkąta ABC.

 

Przyjmijmy oznaczenia

$A\left(x_A,y_A\right),B\left(x_B,y_B\right),C\left(x_C,y_C\right)$

P - środek odcinka AB

Q - środek odcinka BC

R- środek odcinka AC

 

Zatem z definicji środka odcinka dostajemy  

$\{\begin{array}{l}\frac{x_A+x_B}{2}=-3\\ \frac{x_B+x_C}{2}=-1\\ \frac{x_A+x_C}{2}=1\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=-6\\ x_B+x_C=-2\\ x_A+x_C=2\end{array}$  

Z pierwszego równania dostajemy

$x_B=-6-x_A$

Z trzeciego równania dostajemy

$x_C=2-x_A$

 

Podstawiając powyższe do drugiego równania otrzymujemy

$-6-x_A+2-x_A=-2$

$-2x_A-4=-2\mid +4$

$-2x_A=2\mid :\left(-2\right)$

$x_A=-1$

zatem

$x_B=-6-\left(-1\right)=-6+1=-5$

$x_C=2-\left(-1\right)=2+1=3$

 

Korzystając kolejny raz z definicji środka odcinka dostajemy

$\{\begin{array}{l}\frac{y_A+y_B}{2}=2\\ \frac{y_B+y_C}{2}=0\\ \frac{y_A+y_C}{2}=4\end{array}$          

$\{\begin{array}{l}{y}_A+y_B=4\\ y_B+y_C=0\\ y_A+y_C=8\end{array}$  

Z pierwszego równania dostajemy

$y_B=4-y_A$

Z trzeciego równania dostajemy

$y_C=8-y_A$

 

Podstawiając powyższe do drugiego równania otrzymujemy

$4-y_A+8-y_A=0$

$-2y_A+12=0\mid -12$

$-2y_A=-12\mid :\left(-2\right)$

$y_A=6$

zatem

$y_B=4-6=-2$

$y_C=8-6=2$

 

Możemy zapisać współrzędne wierzchołków trójkąta ABC 

$A\left(-1,6\right),B\left(-5,-2\right),C\left(3,2\right)$      

---

Wyznaczmy równania prostych zawierających środkowe (czyli równanie prostej AQ, BR, CP)

 

Spójrzmy na rysunek

 

 

 

• Z rysunku możemy odczytać, że

$AQ:x=-1$  

 

• Wiemy, że prosta BR (y=ax+b) przechodzi przez punkty B i R, zatem

 

$\{\begin{array}{l}-2=-5a+b\\ 4=a+b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-2=-5a+b\\ b=4-a\end{array}$   

 

Podstawiając do pierwszego równania wartość b z drugiego równania otrzymujemy

$-2=-5a+4-a$

$-2=-6a+4\mid +6a+2$

$6a=6\mid :6$

$a=1$

zatem

$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}$      

 

Dostajemy

$BR:y=x+3$  

 

• Z rysunku możemy odczytać, że

$CP:y=2$