a)

$\sin 3x\le \frac{1}{2}$  

 

Zastosujmy podstawienie

$t=3x$

 

Zatem otrzymujemy nierówność

$\sin t\le \frac{1}{2}$

 

Z wykresu funkcji sinus odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności

$t\in ⟨\frac{5}{6}\pi +2k\pi ;\frac{13}{6}\pi +2k\pi ⟩,\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

 

Wracamy do niewiadomej x i otrzymujemy rozwiązanie nierówności wyjściowej.

$3x\in ⟨\frac{5}{6}\pi +2k\pi ;\frac{13}{6}\pi +2k\pi ⟩,\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

$x\in ⟨\frac{5}{18}\pi +\frac{2k\pi }{3};\frac{13}{18}\pi +\frac{2k\pi }{3}⟩,\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$     

---

b)

$\sin 2x<-\frac{1}{2}$  

 

Zastosujmy podstawienie

$t=2x$

 

Zatem otrzymujemy nierówność

$\sin t<-\frac{1}{2}$

 

 

Z wykresu funkcji sinus odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności

$t\in \left(-\frac{5}{6}\pi +2k\pi ;-\frac{\pi }{6}+2k\pi \right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

 

Wracamy do niewiadomej x i otrzymujemy rozwiązanie nierówności wyjściowej.

$2x\in \left(-\frac{5}{6}\pi +2k\pi ;-\frac{\pi }{6}+2k\pi \right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

$x\in \left(-\frac{5}{12}\pi +k\pi ;-\frac{\pi }{12}+k\pi \right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$     

---

c)

${\sin }^2\frac{x}{2}\le \frac{1}{2}$

 

Zastosujmy podstawienie

$t=\frac{x}{2}$

 

Zatem otrzymujemy nierówność

${\sin }^{2}t\le \frac{1}{2}$

$\sin t\le \frac{\sqrt{2}}{2}\wedge \sin t\ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$  

 

 

Z wykresu funkcji sinus odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności

$t\in ⟨-\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{4}+k\pi ⟩,\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

 

Wracamy do niewiadomej x i otrzymujemy rozwiązanie nierówności wyjściowej.

$\frac{x}{2}\in ⟨-\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{4}+k\pi ⟩,\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

$x\in ⟨-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟩,\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$       

---

d)

${\cos }^{2}2x>\frac{1}{4}$  

 

Zastosujmy podstawienie

$t=2x$

 

Zatem otrzymujemy nierówność

${\cos }^{2}t>\frac{1}{4}$

$\cos t>\frac{1}{2}\vee \cos t<-\frac{1}{2}$  

 

 

Z wykresu funkcji cosinus odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności

$t\in \left(-\frac{\pi }{3}+k\pi ;\frac{\pi }{3}+k\pi \right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

 

Wracamy do niewiadomej x i otrzymujemy rozwiązanie nierówności wyjściowej.

$2x\in \left(-\frac{\pi }{3}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

$x\in \left(-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}\right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$