a)

${\left(\sin x+\cos x\right)}^2+{\left(\sin x-\cos x\right)}^2=2$  

Rozpiszmy lewą stronę równania korzystając ze znanych tożsamości trygonometrycznych. 

$\text{L}={\left(\sin x+\cos x\right)}^2+{\left(\sin x-\cos x\right)}^2=$  

$={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=$  

$=2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x=2\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=2\cdot 1=2=\text{P}$  

co kończy dowód.

---

b)

${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$  

Rozpiszmy lewą stronę równania korzystając ze znanych tożsamości trygonometrycznych.

$\text{L}={\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=\underset{=1}{\underbrace{\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}}\left({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\right)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=\text{P}$  

co kończy dowód.

---

c)

$\frac{1-{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\text{tg}x$  

 

Zakładamy, że tangens jest określony oraz sinx≠0 i cosx≠0

Więc

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \wedge x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Zatem rozważamy równanie przy założeniu, że

$x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$    m

 

Rozpiszmy lewą stronę równania korzystając ze znanych tożsamości trygonometrycznych.

$\text{L}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{{\sin }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\text{tg}x=\text{P}$  

co kończy dowód.

---

d)

$\frac{{\cos }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}\left({\text{tg}}^{2}x-{\sin }^{2}x\right)={\sin }^{2}x$  

 

Zakładamy, że tangens jest określony oraz 1-cos²x≠0

Więc

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \wedge x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Zatem rozważamy równanie przy założeniu, że

$x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$    

 

Rozpiszmy lewą stronę równania korzystając ze znanych tożsamości trygonometrycznych.

$\text{L}=\frac{{\cos }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}\left({\text{tg}}^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}\left({\text{tg}}^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=$  

$=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}\cdot {\text{tg}}^{2}x-\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}\cdot {\sin }^{2}x={\text{ctg}}^{2}x\cdot {\text{tg}}^{2}x-{\cos }^{2}x=$  

$=\frac{1}{{\text{tg}}^{2}x}\cdot {\text{tg}}^{2}x-{\cos }^{2}x=1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x=\text{P}$  

co kończy dowód.