Wartością najmniejszą (największą) funkcji ciągłej f w przedziale ⟨a, b〉 może być jedna z liczb f(a), f(b) lub jedno z ekstremów lokalnych.

---

a)

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^3-3x,⟨1,4⟩$  

Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.

Wobec tego jest również ciągła w ⟨1, 4〉.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{3}{4}{x}^2-3$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}\frac{3}{4}{x}^2-3=0$

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{3}{4}{x}^2-3=0$

$\frac{3}{4}{x}^2=3\mid \cdot \frac{4}{3}$

$x^2=4\mid \sqrt{}$

$x=2\in ⟨1,4⟩\vee x=-2\notin ⟨1,4⟩$  

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

   

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{gdy}x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{gdy}x\in \left(-2,2\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=2 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=2:

$f\left(2\right)=\frac{1}{4}\cdot 2^3-3\cdot 2=2-6=-4$    

---

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

$f\left(1\right)=\frac{1}{4}\cdot 1^3-3\cdot 1=\frac{1}{4}-3=-2\frac{3}{4}$

$f\left(4\right)=\frac{1}{4}\cdot 4^3-3\cdot 4=16-12=4$   

---

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

$f\left(2\right)=-4,f\left(1\right)=-2\frac{3}{4},f\left(4\right)=4$  

Zauważamy, że:

$f\left(2\right)<f\left(1\right)<f\left(4\right)$

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(2)=-4 
• największa wartość: f(4)=4

---

---

b)

$f\left(x\right)=4x^3+3x^2-6x,⟨0,2⟩$  

Zauważamy, że funkcja f jest wielomianem, zatem jest funkcją ciągłą.

Wobec tego jest również ciągła w ⟨0, 2〉.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=12x^2+6x-6$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}12x^2+6x-6=0$

Rozwiązujemy równanie:

$12x^2+6x-6=0\mid :6$

$2x^2+x-1=0$

$\Delta =1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$

$x=\frac{-1-3}{4}=-1\notin ⟨0,2⟩\vee x=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}\in ⟨0,2⟩$  

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{gdy}x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(\frac{1}{2},\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{gdy}x\in \left(-1,\frac{1}{2}\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=¹/₂ z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=¹/₂:

$f\left(\frac{1}{2}\right)=4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3+3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6\cdot \frac{1}{2}=$    

$=4\cdot \frac{1}{8}+3\cdot \frac{1}{4}-3=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-3=\frac{5}{4}-3=$

$=1\frac{1}{4}-3=-1\frac{3}{4}$   

---

Wyznaczamy wartości funkcji f dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału:

$f\left(0\right)=4\cdot 0^3+3\cdot 0^2-6\cdot 0=0$

$f\left(2\right)=4\cdot 2^3+3\cdot 2^2-6\cdot 2=32+12-12=32$   

---

Określamy wartość najmniejszą i największą spośród wartości:

$f\left(\frac{1}{2}\right)=-1\frac{3}{4},f\left(0\right)=0,f\left(2\right)=32$  

Zauważamy, że:

$f\left(\frac{1}{2}\right)<f\left(0\right)<f\left(2\right)$

Zatem:

• najmniejsza wartość: f(¹/₂)=-1 ³/₄ 
• największa wartość: f(2)=32