Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0, jeśli dla każdego ciągu (xn) zbieżnego do x0, o wyrazach należących do dziedziny funkcji f i różnych od x0, ciąg (f(xn)) jest zbieżny do g.

---

---

Z treści zadania wiemy, że

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2+2\text{dla}x<0\\ 1-x^2\text{dla}x\ge 0\end{array}$  

$x_0=0$  

---

Rozpatrujemy ciągi: 

$a_n=\frac{1}{n},b_n=-\frac{1}{n}$

zbieżne do 0, czyli: 

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$  

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0$  

Zauważamy, że

$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(a_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-a_n^2\right)=1$

$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(b_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(b_n^2+2\right)=2$    

Wnioskujemy, że funkcja f nie ma granicy w punkcie x₀=0, ponieważ

$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(a_n\right)\ne \underset{n\to \infty }{\lim }f\left(b_n\right)$