Dla jakich wartości x szereg geometryczny jest zbieżny?- Zadanie 5: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

Szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a₁ ≠ 0 i ilorazie q jest:

zbieżny, gdy |q|<1
rozbieżny, gdy |q| ⩾ 1

$x + 2 x^{2} + 4 x^{3} + 8 x^{4} + \dots$

Zauważamy, że

$a_{1} = x, a_{2} = 2 x^{2}$

zatem

$q = \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{2 x ^{2}}{x} = 2 x$

Aby szereg geometryczny był zbieżny, to:

$∣ q ∣ < 1$

wobec tego:

$∣ 2 x ∣ < 1$

$2 x < 1 \land 2 x > - 1$

$x < \frac{1}{2} \land x > - \frac{1}{2}$

Wnioskujemy, że szereg geometryczny spełniający warunki zadania jest zbieżny, gdy:

$x \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

$1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots$

Zauważamy, że

$a_{1} = 1, a_{2} = - x$

zatem

$q = \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{- x}{1} = - x$

Aby szereg geometryczny był zbieżny, to:

$∣ q ∣ < 1$

wobec tego:

$∣ - x ∣ < 1$

$- x < 1 \land - x > - 1$

$x > - 1 \land x < 1$

Wnioskujemy, że szereg geometryczny spełniający warunki zadania jest zbieżny, gdy:

$x \in (- 1, 1)$

$1 + \frac{1}{3 x} + \frac{1}{9 x ^{2}} + \frac{1}{27 x ^{3}} + \dots$

Zauważamy, że

$a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{3 x}$

zatem

$q = \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{\frac{1}{3 x}}{1} = \frac{1}{3 x}, x \neq = 0$

Aby szereg geometryczny był zbieżny, to:

$∣ q ∣ < 1$

wobec tego:

$\frac{1}{3 x} < 1$

$\frac{1}{3 x} < 1 \land \frac{1}{3 x} > - 1$

$\frac{1}{x} < 3 \land \frac{1}{x} > - 3$

$x > \frac{1}{3} \lor x < - \frac{1}{3}$

Wnioskujemy, że szereg geometryczny spełniający warunki zadania jest zbieżny, gdy:

$x \in (- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

$1 + \frac{1}{1 + x ^{2}} + \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} + \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} + \dots$

Zauważamy, że

$a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$

zatem

$q = \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{\frac{1}{1 + x ^{2}}}{1} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$

Aby szereg geometryczny był zbieżny, to:

$∣ q ∣ < 1$

wobec tego:

$\frac{1}{1 + x ^{2}} < 1$

$\frac{1}{1 + x ^{2}} < 1 \cdot (1 + x^{2}) \land \frac{1}{1 + x ^{2}} > - 1 \cdot (1 + x^{2})$

$1 < 1 + x^{2} \land 1 > - (1 + x^{2})$

$x^{2} > 0 \land x^{2} > - 2$

$x > 0 \lor x < 0 \land x \in R$

Wnioskujemy, że szereg geometryczny spełniający warunki zadania jest zbieżny, gdy:

$x \in R \ {0}$

Katarzyna Majewska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Premium

12:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Premium

13:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Definicja ciągu geometrycznego

Premium

12:29

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.