$\text{Jesˊli}\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty ,\text{gdzie}{a}_n\ge 0\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+},\text{to}\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{a_n}=\infty .$

---

a)

$a_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$  

Zauważamy, że licząc granicę dostajemy symbol nieoznaczony:

$\left[\infty -\infty \right]$

Wobec tego, chcąc obliczyć wartość granicy tego ciągu, należy

pomnożyć i podzielić różnicę pierwiastków przez ich sumę: 

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)\cdot \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=$    

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+2-\left(n+1\right)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=0$  

---

b)

$a_n=\sqrt{4n-1}-\sqrt{3n+5}$  

Zauważamy, że licząc granicę dostajemy symbol nieoznaczony:

$\left[\infty -\infty \right]$

Wobec tego, chcąc obliczyć wartość granicy tego ciągu, należy

pomnożyć i podzielić różnicę pierwiastków przez ich sumę:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{4n-1}-\sqrt{3n+5}\right)\cdot \frac{\sqrt{4n+1}+\sqrt{3n+5}}{\sqrt{4n+1}+\sqrt{3n+5}}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{4n-1}-\sqrt{3n+5}\right)\left(\sqrt{4n+1}+\sqrt{3n+5}\right)}{\sqrt{4n+1}+\sqrt{3n+5}}=$    

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n-1-\left(3n+5\right)}{\sqrt{4n+1}+\sqrt{3n+5}}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-6}{\sqrt{4n+1}+\sqrt{3n+5}}=$   

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}\cdot \frac{n-6}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n\left(4+\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{n\left(3+\frac{5}{n}\right)}}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}\left(\frac{n}{\sqrt{n}}-\frac{6}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}\cdot \left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}+\sqrt{3+\frac{5}{n}}\right)}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}-\frac{6}{\sqrt{n}}}{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+\sqrt{3+\frac{5}{n}}}=$

$=\frac{\infty -0}{2+\sqrt{3}}=\frac{\infty }{2+\sqrt{3}}=\infty$    

---

c)

$a_n=\sqrt{4n^2+n}-2n$  

Zauważamy, że licząc granicę dostajemy symbol nieoznaczony:

$\left[\infty -\infty \right]$

Wobec tego:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{4n^2+n}-2n\right)\cdot \left(\sqrt{4n^2+n}+2n\right)}{\sqrt{4n^2+n}+2n}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n^2+n-{\left(2n\right)}^2}{\sqrt{4n^2+n}+2n}=$    

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n^2+n-4n^2}{\sqrt{n^2\left(4+\frac{1}{n}\right)}+2n}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2\right)}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2}=$  

$=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}$  

---

d)

$a_n=n-\sqrt{n^2-n}$  

Zauważamy, że licząc granicę dostajemy symbol nieoznaczony:

$\left[\infty -\infty \right]$

Wobec tego:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n-\sqrt{n^2-n}\right)\cdot \frac{n+\sqrt{n^2-n}}{n+\sqrt{n^2-n}}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(n-\sqrt{n^2-n}\right)\left(n+\sqrt{n^2-n}\right)}{n+\sqrt{n^2-n}}=$    

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2-\left(n^2-n\right)}{n+\sqrt{n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)}}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}=$   

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}=$

$=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

---

e)

$a_n=\sqrt{2n^2+4}-\sqrt{n^2+5}$  

Zauważamy, że licząc granicę dostajemy symbol nieoznaczony:

$\left[\infty -\infty \right]$

Wobec tego, chcąc obliczyć wartość granicy tego ciągu, należy

pomnożyć i podzielić różnicę pierwiastków przez ich sumę:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{2n^2+4}-\sqrt{n^2+5}\right)\cdot \frac{\sqrt{2n^2+4}+\sqrt{n^2+5}}{\sqrt{2n^2+4}+\sqrt{n^2+5}}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{2n^2+4}-\sqrt{n^2+5}\right)\left(\sqrt{2n^2+4}+\sqrt{n^2+5}\right)}{\sqrt{2n^2+4}+\sqrt{n^2+5}}=$    

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+4-\left(n^2+5\right)}{\sqrt{n^2\left(2+\frac{4}{n^2}\right)}+\sqrt{n^2\left(1+\frac{5}{n^2}\right)}}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2-1}{n\left(\sqrt{2+\frac{4}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}\right)}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\left(n-\frac{1}{n}\right)}{n\left(\sqrt{2+\frac{4}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}\right)}=$

$=\frac{\infty -0}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\infty$   

---

f)

$a_n=\sqrt{6n^2+n}-\sqrt{6n^2-n}$  

Zauważamy, że licząc granicę dostajemy symbol nieoznaczony:

$\left[\infty -\infty \right]$

Wobec tego, chcąc obliczyć wartość granicy tego ciągu, należy

pomnożyć i podzielić różnicę pierwiastków przez ich sumę:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{6n^2+n}-\sqrt{6n^2-n}\right)\cdot \frac{\sqrt{6n^2+n}+\sqrt{6n^2-n}}{\sqrt{6n^2+n}+\sqrt{6n^2-n}}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{6n^2+n}-\sqrt{6n^2-n}\right)\left(\sqrt{6n^2+n}+\sqrt{6n^2-n}\right)}{\sqrt{6n^2+n}+\sqrt{6n^2-n}}=$     

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{6n^2+n-\left(6n^2-n\right)}{\sqrt{n^2\left(6+\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{n^2\left(6-\frac{1}{n}\right)}}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n}{n\left(\sqrt{6+\frac{1}{n}}+\sqrt{6-\frac{1}{n}}\right)}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{6+\frac{1}{n}}+\sqrt{6-\frac{1}{n}}}=$

$=\frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{6}}=\frac{2}{2\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$