Oblicz granicę...- Zadanie 7: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

Twierdzenie o trzech ciągach

Jeśli wyrazy ciągów (a_n), (b_n) i (c_n) spełniają nierówność

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$

dla wszystkich (lub prawie wszystkich) n ∈ N₊ oraz

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = g, to n \to \infty lim b_{n} = g$

$n \to \infty lim n 6^{n} + 8^{n}$

Zauważamy, że dla n ∈ N₊prawdziwe są nierówności:

$n 8^{n} < n 6^{n} + 8^{n} < n 8^{n} + 8^{n} = n 2 \cdot 8^{n}$

oraz

$n \to \infty lim n 8^{n} = n \to \infty lim 8 = 8$

$n \to \infty lim n 2 \cdot 8^{n} = n \to \infty lim n 2 \cdot 8 = 1 \cdot 8 = 8$

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach:

$n \to \infty lim n 6^{n} + 8^{n} = 8$

$n \to \infty lim n 4^{n} - 2^{n} = n \to \infty lim n 4^{n} (1 - (\frac{2}{4})^{n}) =$

$= n \to \infty lim n 4^{n} \cdot n 1 - (\frac{1}{2})^{n} = n \to \infty lim 4 \cdot n 1 - (\frac{1}{2})^{n} =$

$= 4 \cdot n \to \infty lim n 1 - (\frac{1}{2})^{n}$

Zauważamy, że dla n ∈ N₊prawdziwe są nierówności:

$4 \cdot n \frac{1}{2} < n 4^{n} - 2^{n} < n 4^{n} = 4$

oraz

$n \to \infty lim 4 \cdot n \frac{1}{2} = 4 \cdot n \to \infty lim n \frac{1}{2} = 4 \cdot 1 = 4$

$n \to \infty lim n 4^{n} = 4$

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach:

$n \to \infty lim n 4^{n} - 2^{n} = 4$

$n \to \infty lim n 3 \cdot 2^{n} + 4 \cdot 7^{n}$

Zauważamy, że dla n ∈ N₊prawdziwe są nierówności:

$n 4 \cdot 7^{n} < n 3 \cdot 2^{n} + 4 \cdot 7^{n} < n 7 \cdot 7^{n}$

oraz

$n \to \infty lim n 4 \cdot 7^{n} = n \to \infty lim n 4 \cdot n \to \infty lim n 7^{n} = 1 \cdot 7 = 7$

$n \to \infty lim n 7 \cdot 7^{n} = n \to \infty lim n 7 \cdot n \to \infty lim n 7^{n} = 1 \cdot 7 = 7$

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach:

$n \to \infty lim n 3 \cdot 2^{n} + 4 \cdot 7^{n} = 7$

$n \to \infty lim n 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$

Zauważamy, że dla n ∈ N₊prawdziwe są nierówności:

$n 4^{n} < n 2^{n} + 3^{n} + 4^{n} < n 3 \cdot 4^{n}$

oraz

$n \to \infty lim n 4^{n} = n \to \infty lim 4 = 4$

$n \to \infty lim n 3 \cdot 4^{n} = n \to \infty lim n 3 \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach:

$n \to \infty lim n 2^{n} + 3^{n} + 4^{n} = 4$

$n \to \infty lim n 7 + sin n$

Zauważamy, że dla n ∈ N₊prawdziwe są nierówności:

$- 1 \leq sin n \leq 1 ∣ + 7$

$6 \leq 7 + sin n \leq 8$

czyli:

$n 6 \leq n 7 + sin n \leq n 8$

oraz

$n \to \infty lim n 6 = 1$

$n \to \infty lim n 8 = 1$

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach:

$n \to \infty lim n 7 + sin n = 1$

$n \to \infty lim n 3 \cdot 4^{n} - cos n$

Zauważamy, że dla n ∈ N₊prawdziwa jest nierówność:

$- 1 \leq cos n \leq 1$

Wobec tego maksymalna wartość wyrażenia pod pierwiastkiem, to:

$3 \cdot 4^{n} + 1$

natomiast minimalna wartość wyrażenia pod pierwiastkiem, to:

$3 \cdot 4^{n} - 1$

Dostajemy nierówność:

$n 4^{n} < n 3 \cdot 4^{n} - cos n < n 4 \cdot 4^{n}$

oraz

$n \to \infty lim n 4^{n} = 4$

$n \to \infty lim n 4 \cdot 4^{n} = n \to \infty lim n 3 \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach:

$n \to \infty lim n 3 \cdot 4^{n} - cos n = 4$

Katarzyna Majewska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Monotoniczność funkcji

11:35

Zobacz lekcję

Własności pierwiastków i usuwanie niewymierności z mianownika

Premium

19:40

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Premium

13:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.