a)

Wykres ciągu (a_n) zawiera się w prostej przechodzącej przez punkty (2, 2) i (6, 0).

Wyznaczamy równanie prostej y=ax+b. 

$a=\frac{0-2}{6-2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

$y=-\frac{1}{2}x+b$

Podstawiamy współrzędne jednego z punktów, przez który przechodzi prosta i otrzymujemy

$0=-\frac{1}{2}\cdot 6+b$

$0=-3+b\mid +3$

$b=3$

$y=-\frac{1}{2}x+3$

Zatem wzór ogólny ciągu możemy zapisać jako

$a_n=-\frac{1}{2}n+3,n\in {\mathbb{N}}_{+}$          

---

b)

Wykres ciągu (a_n) zawiera się w prostej równoległej do prostej

$y=-\frac{2}{3}x+4$  

oraz największy wyraz tego ciągu jest równy ¹/₃.

Wyznaczamy równanie prostej y=ax+b.

Szukana prosta ma taki sami współczynnik kierunkowy jak prosta do której jest równoległa.

$a=-\frac{2}{3}$

$y=-\frac{2}{3}x+b$

Możemy zapisać, że

$a_n=-\frac{2}{3}n+b,n\in {\mathbb{N}}_{+}$       

Skoro nieskończony ciąg posiada wartość największą, to jest malejący oraz

$a_1=\frac{1}{3}$  

Wobec tego

$\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\cdot 1+b\mid +\frac{2}{3}$

$b=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}=1$

Zatem wzór ogólny ciągu możemy zapisać jako

$a_n=-\frac{2}{3}n+1,n\in {\mathbb{N}}_{+}$     

---

c)

Wykres ciągu (a_n) zawiera się w prostej prostopadłej do prostej

$y=3x$  

oraz a₆=7.

Wyznaczamy równanie prostej y=ax+b.

$a=-\frac{1}{3}$

$y=-\frac{1}{3}x+b$

Możemy zapisać, że

$a_n=-\frac{1}{3}n+b,n\in {\mathbb{N}}_{+}$       

Wiemy, że 

$a_6=7$  

Wobec tego

$7=-\frac{1}{3}\cdot 6+b\mid +2$

$b=9$

Zatem wzór ogólny ciągu możemy zapisać jako

$a_n=-\frac{1}{3}n+9,n\in {\mathbb{N}}_{+}$