a)

$K:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$

Wiemy, że okrąg K ma środek w punkcie S(1, 1) i promień długości 5.

Zatem okrąg K', który jest symetryczny do okręgu K względem osi OX ma

środek w punkcie S'(1, -1) oraz promień długości 5.

---

Równanie okręgu K'

$K{}^{\prime }:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=25$

---

Sprawdzamy, czy punkt P(-3, 2) należy do okręgu K'

${\left(-3-1\right)}^2+{\left(2+1\right)}^2={\left(-4\right)}^2+3^2=16+9=25$

Zatem punkt P należy do okręgu K'. 

---

---

b)

$K:{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=41$

Wiemy, że okrąg K ma środek w punkcie S(2, -2) i promień długości √41.

Zatem okrąg K', który jest symetryczny do okręgu K względem osi OX ma

środek w punkcie S'(2, 2) oraz promień długości √41.

---

Równanie okręgu K'

$K{}^{\prime }:{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=41$

---

Sprawdzamy, czy punkt P(-3, 2) należy do okręgu K'

${\left(-3-2\right)}^2+{\left(2-2\right)}^2={\left(-5\right)}^2+0^2=25\ne 41$

Zatem punkt P nie należy do okręgu K'. 

---

---

c)

$K:{\left(x+3\right)}^2+y^2=4$

Wiemy, że okrąg K ma środek w punkcie S(-3, 0) i promień długości 2.

Zatem okrąg K', który jest symetryczny do okręgu K względem osi OX ma

środek w punkcie S'(-3, 0) oraz promień długości 2.

Okręgi są takie same.

---

Równanie okręgu K'

$K{}^{\prime }:{\left(x+3\right)}^2+y^2=4$

---

Sprawdzamy, czy punkt P(-3, 2) należy do okręgu K'

${\left(-3+3\right)}^2+2^2=0^2+2^2=4$

Zatem punkt P należy do okręgu K'. 

---

---

d)

$K:{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=40$

Wiemy, że okrąg K ma środek w punkcie S(-1, 4) i promień długości √40.

Zatem okrąg K', który jest symetryczny do okręgu K względem osi OX ma

środek w punkcie S'(-1, -4) oraz promień długości √40.

---

Równanie okręgu K'

$K{}^{\prime }:{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=40$

---

Sprawdzamy, czy punkt P(-3, 2) należy do okręgu K'

${\left(-3+1\right)}^2+{\left(2+4\right)}^2={\left(-2\right)}^2+6^2=4+36=40$

Zatem punkt P należy do okręgu K'.